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Detlef01 (Detlef01)
Senior Mitglied Benutzername: Detlef01
Nummer des Beitrags: 585 Registriert: 01-2003
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 06. April, 2005 - 18:43: |
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hallo, es geht um folgende funktion: f(x)= e^(|x|)/(e^x+1) die funktion ist auf ganz R definiert und soll an den rändern des definitionsbereichs untersucht werden! begründen sie, dass die funktion stetig ist! also für lim x->+unendlich = 1(+) und für lim x->-unendlich = 1(-) ich habe die funktion durch e^x geteilt und komme dann auf 1/(1+1/e^x). ? detlef |
Sotux (Sotux)
Senior Mitglied Benutzername: Sotux
Nummer des Beitrags: 557 Registriert: 04-2003
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 06. April, 2005 - 21:56: |
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Hi, f ist aus lauter stetigen Funktionen zusammengesetzt und daher wieder stetig, zumal der Nenner immer größer als 1 ist. Der Grenzwert für x->+oo ist 1, für x->-oo ist er +oo (du hast die Betragsstriche vergessen) sotux |
Detlef01 (Detlef01)
Senior Mitglied Benutzername: Detlef01
Nummer des Beitrags: 586 Registriert: 01-2003
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 07. April, 2005 - 10:26: |
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hmm wie meinst du das, wo habe ich die betragsstriche vergessen? detlef |
Christian_s (Christian_s)
Senior Mitglied Benutzername: Christian_s
Nummer des Beitrags: 1784 Registriert: 02-2002
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 07. April, 2005 - 10:34: |
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Hallo Detlef Im letzten Satz schreibst du, dass du durch ex geteilt hast(Zähler und Nenner). Im Zähler stehen aber noch Betragsstriche und dann ist eben nicht e|x|/ex=1. Dadurch kommt auch dein Fehler beim Grenzübergang x->-¥ zustande. Dabei wird nämlich e|x| beliebig groß und ex verschwindet. MfG Christian |
Detlef01 (Detlef01)
Senior Mitglied Benutzername: Detlef01
Nummer des Beitrags: 587 Registriert: 01-2003
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 07. April, 2005 - 11:29: |
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axo ok, das stimmt! vielen dank! detlef |
Detlef01 (Detlef01)
Senior Mitglied Benutzername: Detlef01
Nummer des Beitrags: 588 Registriert: 01-2003
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 07. April, 2005 - 14:39: |
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wie differenziere ich so eine betragsfunktion denn? detlef |
Christian_s (Christian_s)
Senior Mitglied Benutzername: Christian_s
Nummer des Beitrags: 1785 Registriert: 02-2002
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 07. April, 2005 - 15:34: |
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Hallo Detlef Wir nehmen mal das Beispiel f(x)=e|x|. Ist x³0, so gilt e|x|=ex, sonst gilt e|x|=e-x. Wir haben also im Prinzip eine Abschnittsweise definierte Funktion. Ist x>0, so ist die Ableitung also wieder ex. Für x<0 ist die Ableitung -exp-x. Der einzige problematische Punkt ist der Nullpunkt. Hier benutzen wir am besten mal die Definition der Ableitung: lim(h->0) (f(0+h)-f(0))/h =lim(h->0) (e|h|-1)/h Der Grenzwert existiert nicht: Lassen wir h von rechts gegen Null laufen, so gilt lim(h->0+) (e|h|-1)/h =lim(h->0+) (S¥ k=0(hk/k!)-1)/h =lim(h->0+) S¥ k=1(hk-1/k!) =1 Analog lim(h->0-) (e|h|-1)/h =lim(h->0-) (S¥ k=0((-h)k/k!)-1)/h =lim(h->0-) (S¥ k=0((-1)k(h)k/k!)-1)/h =lim(h->0+) S¥ k=1(-1)k(hk-1/k!) =-1 Damit ist f im Nullpunkt nicht differenzierbar. Insgesamt also f'(x)=ex für x>0 und f'(x)=-e-x für x<0. MfG Christian |
Detlef01 (Detlef01)
Senior Mitglied Benutzername: Detlef01
Nummer des Beitrags: 589 Registriert: 01-2003
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 07. April, 2005 - 17:05: |
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wieso gilt denn e^|x|=e^(-x) für x<0, es ist doch der betrag??! detlef |
Christian_s (Christian_s)
Senior Mitglied Benutzername: Christian_s
Nummer des Beitrags: 1786 Registriert: 02-2002
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 07. April, 2005 - 17:49: |
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Hi Detlef So ist der Betrag definiert |x|=x für x³0 |x|=-x für x<0 MfG Christian |
Detlef01 (Detlef01)
Senior Mitglied Benutzername: Detlef01
Nummer des Beitrags: 590 Registriert: 01-2003
| Veröffentlicht am Freitag, den 08. April, 2005 - 10:21: |
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achja ist ja logisch,wenn dann x<0 ist, dann wird es ja wieder positiv! also muss ich dann die funktionen immer für x<0 und für x>0 ableiten? aber das mit x=0 habe ich nicht verstanden! detlef |
Christian_s (Christian_s)
Senior Mitglied Benutzername: Christian_s
Nummer des Beitrags: 1788 Registriert: 02-2002
| Veröffentlicht am Freitag, den 08. April, 2005 - 11:23: |
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Hallo Detlef Genau, für x<0 und x>0 darfst du ganz normal ableiten wenn du obige Definition benutzt. Probleme bereitet halt die "Schnittstelle" x=0. Am besten du schaust dir mal die Funktion f(x)=|x| an. Die Ableitung gibt ja im Prinzip immer die Steigung der Tangenten an. Es ist klar, dass für x>0 die Ableitung 1 ist und für x<0 ist sie -1. Nur was machst du jetzt im Nullpunkt? Dort läßt sich die Ableitung offenbar nicht definieren, weil da die zwei verschiedenen Steigungen "aufeinandertreffen". MfG Christian |
Detlef01 (Detlef01)
Senior Mitglied Benutzername: Detlef01
Nummer des Beitrags: 593 Registriert: 01-2003
| Veröffentlicht am Freitag, den 08. April, 2005 - 12:18: |
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ja das ist verständlich, aber ich versteh deinen weg dann weiter nicht?? detlef |
Detlef01 (Detlef01)
Senior Mitglied Benutzername: Detlef01
Nummer des Beitrags: 594 Registriert: 01-2003
| Veröffentlicht am Freitag, den 08. April, 2005 - 12:22: |
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was ist exp? detlef |
Christian_s (Christian_s)
Senior Mitglied Benutzername: Christian_s
Nummer des Beitrags: 1790 Registriert: 02-2002
| Veröffentlicht am Freitag, den 08. April, 2005 - 12:32: |
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Hallo Detlef exp steht für die Exponentialfunktion. Denk dir oben einfach das "xp" weg, hatte mich verschrieben. Und dann weiter unten hatte ich einfach versucht die Ableitung an der Stelle 0 zu berechnen. Allgemein ist die Ableitung an der Stelle x ja definiert durch f'(x)=lim(h->0) (f(x+h)-f(x))/h Bei uns also x=0. Danach habe ich gezeigt, dass der Grenzwert nicht existiert. Dabei bin ich einmal davon ausgegangen, dass ich mich von rechts dem Nullpunkt nähere, das heißt h ist positiv und |h| kann durch h ersetzt werden. Bei der zweiten Rechnung bin ich dann davon ausgegangen, dass ich mich von links dem Nullpunkt nähere. Dort kann dann |h| durch -h ersetzt werden. Die Summenzeichen oben kommen einfach von der Reihenentwicklung der Exponentialfunktion, also ex=S¥ k=0 xk/k! Der Rest ist nur noch Rechnerei, wobei du beachten musst, dass Potenzreihen auf ihrem Konvergenzintervall stetig sind(D.h. wenn h->0 läuft darf man den Grenzwert berechnen, indem man einfach h=0 einsetzt). Nun kriegen wir bei der ganzen Rechnung aber zwei verschiedene Grenzwerte raus, je nachdem von wo wir uns dem Nullpunkt nähern. Damit existiert der allgemeine Grenzwert für h->0 (egal von wo man sich dem Nullpunkt nähert) nicht. MfG Christian |
Detlef01 (Detlef01)
Senior Mitglied Benutzername: Detlef01
Nummer des Beitrags: 595 Registriert: 01-2003
| Veröffentlicht am Freitag, den 08. April, 2005 - 13:18: |
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alles klar, danke für die sehr gute erklärung! detlef |