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Carrie (Carrie)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Carrie
Nummer des Beitrags: 166
Registriert: 07-2003
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 18. April, 2004 - 20:09: | 
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a)
Betrag von (mü*z) = mü * Betrag von z
b)
Betrag von (z1*z2)= betrag von z1 * Betrag von z2
c)
Betrag von (z^n)= betrag von z hoch n
d)
Betrag von (z1:z2)= Betrag von z1: Betrag von z2
e)
z*z*= (Betrag von z)^2
f)
Betrag von z = Betrag von z*= Betrag von -z
habe hier leider nicht die zeichen für Betrag etc.
kann mir trotzdem jemand helfen??
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Mythos2002 (Mythos2002)
Senior Mitglied
Benutzername: Mythos2002
Nummer des Beitrags: 1081
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 18. April, 2004 - 20:58: |
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a)
µ*z = µa + µbi
|µz| = sqrt(µ²a² + µ²b²) = µ*sqrt(a² + b²) = µ*|z|
b)
z1 = a1 + i*b1
z2 = a2 + i*b2
--------------
z1*z2 = a1*a2 - b1*b2 + i*(a1*b2 + a2*b1)
|z1*z2| = sqrt(a1²a2² + b1²b2² + a1²b2² + a2²b1²)
(die Mittelglieder 2*... beim Quadrieren heben sich auf)
|z1|*|z2| = sqrt(a1² + b1²)*sqrt(a2² + b2²) =
= sqrt(a1²a2² + b1²b2² + a1²b2² + a2²b1²)
c)
Jetzt dies, was man auch schon bei b) hätte tun können:
z = r*e^(i*phi) ... Polarform von z, r ist der Betrag von z: r = |z|
z^n = (r^n)*e^(i*n*phi)!
Der Betrag der e - Potenz ist immer 1, weil e^(ix) = cos(x) + i*sin(x) und cos²(x) + sin²(x) immer 1 ist.
->> |z^n| = r^n = |z|^n
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
d)
z1 = r1*e^(i*phi1)
z2 = r2*e^(i*phi2)
------------------
z1/z2 = (r1/r2)*e^i(phi1 - phi2)
->> |z1/z2| = |z1|/|z2|
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
e) kann man auf b) zurückführen oder wie gerade gezeigt behandeln ...
f)
z = a + b*i
z* = a - b*i
-z = -a - b*i
Bei allen Dreien ist der Betrag sqrt(a² + b²)!
Gr
mYthos |
Friedrichlaher (Friedrichlaher)
Senior Mitglied
Benutzername: Friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 2160
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 18. April, 2004 - 21:19: |
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z = a + b*i; mü ist reell; | z | := Betrag(z)
a)
| mü*z |² = | mü*a + mü*b | = | mü²*a²+mü²*b² |
= | mü²*(a²+b²) |
= | mü²*| z |² | = mü²*z² ==> | mü*z | = mü*| z |
b)
p = z1*z2 = a1*a2-b1*b2 + i*(a1*b2+a2*b1)
|p|² = (a1*a2-b1*b2)²+(a1*b2+a2*b1)²
=
a1²a2²-2a1a2b1b2+b1²b2² + a1²b2²+2a1a2b1b2+a2²b1²
=
a1²a2²+b1²b2² + a1²b2²+a2²b1²
=
a1²(a2²+b2²) + b1²(b2²+a2²) = a1²|z2|²+b1²|z2|²
= (a1²+b1²)|z2|² = |z1|²*|z2|²
==> | z1*z2 | = |z1|*|z2|
c)
folgt aus b)
d)
dazu ersteinmal (f) zeigen
e)
z* = a - b*i
z*z* = (a + b*i)*(a - b*i) = a²-b²i² = a²+b²
= | z |²
f) folgt aus e)
nun
d)
q = (a1+b1*i)/(a2+b2*i) mit z2* erweitern
q = (a1+b1*i)(a2-b2*i)/|z2|²
q =[(a1a2+b1b2) + i(a2b1-a1b2)] / |z2|²
dazu blick nun auf (b) zurück:
der Betrag des Zählers ist |z1|*|z2|
also
q = |z1| / |z2|
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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Carrie (Carrie)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Carrie
Nummer des Beitrags: 170
Registriert: 07-2003
| | Veröffentlicht am Montag, den 19. April, 2004 - 21:48: |
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danke danke danke für eure Hilfe!!!!!*freu* |
