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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2570 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Dienstag, den 09. September, 2003 - 17:00: |
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Hi allerseits, In der Dreiecksaufgabe 46 ist eine Ortskurve zu bestimmen. In einem cartesischen Koordinatensystem sind die Ecken ABC eines Dreiecks wie folgt gegeben: A(0/0), B(2p/0), C(p/1). Fasse p als Parameter auf und beweise: Die Ortskurve (p als Variable) des Umkreismittelpunktes ist eine Parabel. Wo liegt der Brennpunkt der Parabel? Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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Niels (niels2)
Senior Mitglied Benutzername: niels2
Nummer des Beitrags: 860 Registriert: 06-2001
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 10. September, 2003 - 12:42: |
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Hallo Megamath, offen gesagt bin ich über das Ergebnis was ich zu dieser Aufgabe ausgerechnet habe etwas überascht. mein Vorschlag als Ortskurve: y=(1-x²)/2 oder M(p|(1-p²)/2) richtig, oder sollte ich mich verrechnet haben? einfach die 3 Punkte in allgemeine Kreisgleichung einsetzen und stupide ausrechnen...oder gibt es ein anderes Lösungsrezept? mfg Niels |
H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2573 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 10. September, 2003 - 14:00: |
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Hi Niels Deine Gleichung für die Ortskurve ist richtig! Ich habe die Mittelsenkrechte x = p der Seite AB mit der Mittelsenkrechten 2 p x - 2 y = 3 p^2 – 1 der Seite BC geschnitten und dann p eliminiert. Der Brennpunkt F der Parabel lässt sich leicht finden. Berechne die Koordinaten des Scheitels und den Parameter q der Parabel. Wenn ich mich nicht täusche, liegt F auf der x-Achse, und zwar im Nullpunkt. Die Aufgabe sollte als Einführungsaufgabe in die Welt der Ortskurven einfach sein; es kommt schon noch ein wenig schwieriger,das verspreche ich. Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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Olaf (heavyweight)
Erfahrenes Mitglied Benutzername: heavyweight
Nummer des Beitrags: 233 Registriert: 09-2002
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 10. September, 2003 - 23:10: |
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Hi, Hier auch nochmal meine Lösung im Detail... Mittelsenkrechte auf AB: x=p Steigung der Geraden durch A und C: mAC=(1-0)/(p-0)=1/p => Steigung der Mittelsenkrechten von AC: mACs=-p y=-p*x+a0 mit D(p/2|1/2): 1/2=-p*p/2+a0 => a0=(p2+1)/2 => y=-p*x+(p2+1)/2 mit p=x: y=(1-x2)/2 bzw. x2+2y-1=0 Allgemeine Gleichung eines Kegelschnittes: ax2+by2+cx+dy+e=0 Wir erhalten eine Parabel für a=0,b¹0 oder b=0,a¹0, was offensichtlich ist hier der Fall ist. Berechnung von Scheitelpunkt und dem Parameter q: Hauptform der Parabelgleichung: (y-y0)2=2q(x-x0) bzw. (x-x0)2=2q(y-y0) Umformung der bestimmten Parabelgleichung: x2=-2x+1 x2=-2(y-1/2) => x0=0,y0=1/2,q=-1 Scheitelpunkt: S(0|1/2) Der Abstand des Brennpunktes F vom Scheitelpunkt S beträgt q/2,d.h. F liegt genau im Ursprung. Dreiecksaufgabe 45 ist wohl in ähnlicher Weise zu lösen... Gruß,Olaf
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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2577 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 11. September, 2003 - 07:44: |
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Hi Olaf Besten Dank für Deine ausführliche Lösung, sie ist ok. MfG H.R.Moser,megamath |
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