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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2480 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Sonntag, den 24. August, 2003 - 11:13: |
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Hi allerseits, zum Abschluss der Vierecksaufgaben dieser Serie präsentiere ich eine Stereometrieaufgabe aus einem „Lehrbuch der Körperberechnungen“ aus dem Jahr 1886. Der Originaltext lautet: Aufgabe 7o1 Ein Prismatoid, bezw. ein sog. Antiobelisk mit der Höhe H hat zur einen Grundfläche eine Raute und zur andern Grundfläche ein Rechteck, dessen Seiten parallel den Diagonalen jener Raute, halb so lang als diese und bezw. == m und n sind. Welches ist das Volumen dieses Prismatoids, wenn sämtliche Seitenflächen gleichschenklige Dreiecke, bezw. wenn sämtliche Seitenkanten gleich lang sind? Erklärungen Raute : Rhombus Unter einem Obelisk versteht man ein Prismatoid, dessen parallele Grundflächen Polygone von gleicher Seitenzahl und dessen Grundkanten paarweise parallel sind. Unter einem Antiobelisken versteht man ein Prismatoid, dessen parallele Grundflächen Polygone von gleicher Seitenzahl sind, dessen Grundkanten aber nicht wie bei dem Obelisk parallel sind, sondern irgend eine andere bestimmte Lage zu einander haben. Volumenformel für ein Prismatoid: V = H / 6 ( G + 4 M + D ) G: Inhalt der Grundfläche D: Inhalt der Deckfläche M: Inhalt des Mittelschnitts (mittlere Durchschnittsfigur) Schnittfläche parallel zu G in halber Höhe (½ H). Viel Erfolg bei der Lösung ! Dieser Erfolg hängt davon ab, ob man sich von der räumlichen Situation eine genaue Vorstellung machen kann. Eine Skizze in schiefer Parallelprojektion oder analoge Mittel können hilfreich sein,auch PC-Zeichnungen. Besonderes Augenmerk ist auf die Struktur und auf die Abmessungen des Mittelschnittes zu richten (Zerlegung in ein Rechteck und zwei kongruente Trapeze). Jedenfalls fördert eine intensive Beschäftigung mit einer solchen Aufgabe das räumliche Vorstellungsvermögen. Nützlich ist auch die Abzählung der Eckenzahl e, der Kantenzahl k und der Flächenzahl f ; es gilt e = 8 , k = 16, f = 10 und der Eulersche Polyedersatz e – k + f = 2 ist bestens erfüllt. Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2482 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Dienstag, den 26. August, 2003 - 06:49: |
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Hi allerseits Kurzlösung der Vierecksaufgabe 122. Grundfläche G, ein Rhombus mit den Diagonalen e = 2 m, f = = 2 n, somit G = ½ e f = 2 m n Deckfläche D, ein Rechteck mit den Seiten a = m , b = n, daraus D = m n Mittelschnitt M, ein nicht reguläres Achteck, bestehend aus einem Rechteck R und zwei kongruenten Trapezen T1, T2. R: Seiten 3/2 m (Mittellinie in einem vertikalen Trapez) und ½ n, daher R = ¾ m n T1,T2: Parallelseiten p = 3/2 m , q = ½ m , Höhe ½ n, somit T1 = T2 = ½ m n Zusammen: M = R + T1 + T2 = ¾ m n + m n = 7/4 m n , mithin 4 M = 7 m n Für das gesuchte Volumen erhalten wir: V = H / 6 (m n + 7 m n + 2 m n ) = 5 / 3 m n H. Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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