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Beitrag |
    
Theo H.
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Samstag, den 16. März, 2002 - 15:26: | 
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Hallo,
Ich bitt um Hilfe bei folgender Aufgabe:
Man berechne (von Hand) das uneigentliche Integral über
f(x) = x^2 / ( 1 + x^2 ) ^ 4 , untere Grenze 0 ,
obere Grenze unendlich.
Ich danke für jede Hilfe im voraus
Theo H.
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H.R.Moser,megamath
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Samstag, den 16. März, 2002 - 19:07: |
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Hi Theo,
Deine Aufgabe eignet sich bestens, den Umgang mit Integralen zu
üben; es kommen die Substitution, die partielle Integration oder,
wenn man will, die Partialbruchzerlegung zum Zug.
Zur Berechnung des unbestimmten Integrals setzen wir zunächst
eine trigonometrische Substitution ein, nämlich:
x = tan t , dx = {1+(tan t)^2} * dt , somit erhalten wir das Integral
in der Variablen t nach Vereinfachungen:
J = int [ ( tan t ) ^2 / { 1+(tan t)^2 }^3 * dt ] ; verwendet man noch
die Beziehung 1 / {1+(tan t)^2} = ( cos t ) ^2 , so erhält man:
J = int [(cos t ) ^ 4 * (sin t) ^ 2 * dt ]...........................................(1)
Durch eine partielle Integration lässt sich dieses Integral
im Sinne einer Rekursion auf das Integral
K = int [(cos t ) ^ 2 * (sin t) ^ 2 * dt ] .........................................(2)
zurückführen; das geht so:
Forme J um zu:
J = int [cos t * (cos t ) ^ 3 * (sin t) ^ 2 * dt ]……………………(1*)
Setze in (1*) zur Vorbereitung der partiellen Integration
u ´ = cos t , also u = sin t
v = (cos t ) ^ 3 * (sin t) ^ 2 , also
v ´ = - 3 * ( cos t ) ^ 2 * (sin t ) ^ 3 + 2* (sin t)*(cos t)^4
Damit erhalten wir:
J = (cos t)^3*(sin t)^3 –
int[{-3 *(cos t)^2*(sin t)^3+2* sin t* (cos t)^4 } * sin t * dt ],
also:
J = (cos t)^3*(sin t)^3 +3* int [(cos t)^2*(sin t)^4 * dt ] - 2 * J
oder
3*J=(cos t)^3*(sin t)^3+3*int [(cos t)^2*(sin t)^2*{1-(cos t)^2} * dt]
rechts erscheint der Summand - 3* J, sodass gilt:
J = 1/6* (cos t)^3 * (sin t)^3 + ½* K
wobei K das Integral aus (2) darstellt und bekanntlich (!) durch
K = 1/8 * t –1/16* cos (2t)* sin (2t)
ersetzt werden kann.
Eine Stammfunktion in der Variablen t lautet somit:
J = 1/6 * (cos t)^3 * (sin t)^3 + 1/16*t – 1/32* cos (2t) * sin (2t)
Für t ist als untere Grenze 0 , als obere Grenze ½ * Pi
einzusetzen.
Das gesuchte uneigentliche Integral hat daher den Wert
1/32 * Pi.
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Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath.
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Theo H.
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 17. März, 2002 - 17:33: |
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Hallo H.R.Moser,megamath,
Vielen Dank für deine interessante und
lehrreiche Lösung !
mfG
Theo
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