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Martin
| Veröffentlicht am Samstag, den 03. November, 2001 - 22:08: |
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Folgende Ungleichung ist mir momentan noch nicht so ganz transparent: x,y seien Element der ration. Zahlen und x,y >0 zu zeigen: 2/[(1/x)+(1/y)] <= sqrt(x*y) <= (x+y)/2 wäre super, wenn mir jemand einen Tipp geben könnte!! mfg Martin |
Ingo (Ingo)
| Veröffentlicht am Samstag, den 03. November, 2001 - 23:41: |
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Weiß nicht, ob das der einfachste Weg ist, aber ich würde es so machen : 1) Gleichung quadrieren. Da alle Terme größer gleich Null sind, ändern sich die Relationszeichen nicht. 2) Beim Term ganz links den Faktor xy abspalten und im anderen Faktor ausnutzen, daß 4xy=(x+y)²-(x-y)² 3) Bei rechten Term den Summand xy abspalten Hoffe das reicht als Hinweis, wenn nicht melde Dich einfach noch einmal. |
H.R.Moser,megamath.
| Veröffentlicht am Sonntag, den 04. November, 2001 - 14:41: |
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Hi Martin, Bei der vorgelegten Ungleichungskette handelt es sich um die bekannten Ungleichungen G < = A.........................................................................................…(I) H < = G……………………………………………………………(II) wobei A das arithmetische Mittel , G das geometrische Mittel und H das harmonische Mittel von ( zunächst zwei) pos.Zahlen a , b bedeutet, also: A= ½ (a+b), G = wurzel (ab) , H = 2 a*b / (a + b ) Beweis von (I) indirekt Die Annahme G > A führt der Reihe nach auf die Ungleichungen 2 * wurzel (a*b) > a+b (quadriere!) 4 a b > ( a + b ) ^ 2 = a ^ 2 + 2 a b + b ^ 2, also 0 > a ^ 2 – 2 a b + b ^ 2 = ( a – b ) ^ 2 Widerspruch: ( a –b ) ^ 2 kann nicht negativ sein Damit ist der indirekte Beweis beendigt. Beweis von (II) durch Rückführung auf (I) Der Reziprokwert von H, also1 / H , lässt sich als arithmetisches Mittel der Reziprokwerte von a und b , d.h. als Mittel von 1 / a und 1 / b schreiben: 1/H = ½ * ( 1 / a + 1 / b ) Wenden wir darauf (I) an, so kommt: 1/H = ½ (1/a + 1/b) > wurze(1/a * 1/b)=1/wurzel(a*b)=1/G also: H < G ,was zu zeigen war (w.z.z.w.) Mit freundlichen Grüßen. H.R.Moser,megamath. Hi Martin, Bei der vorgelegten Ungleichungskette handelt es sich um die bekannten Ungleichungen G < = A.........................................................................................…(I) H < = G……………………………………………………………(II) wobei A das arithmetische Mittel , G das geometrische Mittel und H das harmonische Mittel von ( zunächst zwei) pos.Zahlen a , b bedeutet, also: A= ½ (a+b), G = wurzel (ab) , H = 2 a*b / (a + b ) Beweis von (I) indirekt Die Annahme G > A führt der Reihe nach auf die Ungleichungen 2 * wurzel (a*b) > a+b (quadriere!) 4 a b > ( a + b ) ^ 2 = a ^ 2 + 2 a b + b ^ 2, also 0 > a ^ 2 – 2 a b + b ^ 2 = ( a – b ) ^ 2 Widerspruch: ( a –b ) ^ 2 kann nicht negativ sein Damit ist der indirekte Beweis beendigt. Beweis von (II) durch Rückführung auf (I) Der Reziprokwert von H, also1 / H , lässt sich als arithmetisches Mittel der Reziprokwerte von a und b , d.h. als Mittel von 1 / a und 1 / b schreiben: 1/H = ½ * ( 1 / a + 1 / b ) Wenden wir darauf (I) an, so kommt: 1/H = ½ (1/a + 1/b) > wurze(1/a * 1/b)=1/wurzel(a*b)=1/G also: H < G ,was zu zeigen war (w.z.z.w.) Mit freundlichen Grüßen. H.R.Moser,megamath. . . |
Svcds (Svcds)
Neues Mitglied Benutzername: Svcds
Nummer des Beitrags: 1 Registriert: 05-2011
| Veröffentlicht am Freitag, den 13. Mai, 2011 - 07:33: |
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Hi, also ich hab hier die Aufgabe zu beweisen A(x,y)² < y also [(x+y)/2]² < y Ist da nicht enin Fehler in der Aufgabe? Wenn ich nämlich z.B. x=13 und y=43 nehme, kommt die Ungleichung nicht hin. GLG KNUT |
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