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Mineraloge
| Veröffentlicht am Montag, den 11. Juni, 2001 - 11:44: |
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Hallo! Kann mir jemand die Lösung der DGL geben? Wenn möglich mit Lösungsweg. y'(x)[x²+2]+2xy(x)= e^(x/2) Danke Mineraloge |
H.R.Moser,megamath.
| Veröffentlicht am Montag, den 11. Juni, 2001 - 13:18: |
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Hi Mineraloge Wir lösen die homogene Gleichung y ' ( x ^ 2 + 1) + 2 x y = 0 durch Trennung der Variablen; es entsteht: dy / y = - 2 x / ( x^2 + 2 ) Integration beider Seiten mit c als Integrationskonstante: ln y = - ln (x^2 + 2 ) + ln c ; zusammengefasst: ln y = ln [c / ( x^2 + 2 )] , also y = c / ( x ^2 + 2 ) ; dies ist die allgemeine Lösung der homogenen Gleichung. Um die Lösung der inhomogenen Gleichung zu finden, wählen wir die Methode der Variation der Konstanten c = c(x) ist eine zu bestimmende Funktion in x. Wir leiten y = c(x) / (x^2 + 2 ) mit der Quotientenregel nach x ab.: y ' = [(x^2+2) * c' - 2 c x ] / (x^2+2)^2 Dies setzen wir in die gegebene Dgl. ein, und wir erhalten nach gehörigen Vereinfachungen : c ' (x) = e ^ ( x / 2 ), somit c(x) = 2 * e^ (x / 2 ) + k k ist eine Integrationskonstante. Somit erhalten wir durch Einsetzen von c(x) die allgemeine Lösung Der gegebenen Dgl.: y = [2 e ^ (x / 2) + k ] / (x ^ 2 + 2 ) °°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°° Gut Stein ! Mit freundlichen Grüssen H.R.Moser,megamath. |
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