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christian (Christian18)
| Veröffentlicht am Freitag, den 08. September, 2000 - 21:58: |
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Muss ein referat über einen Beweis mit vollständiger induktion halten. Die Aufgabe: Stelle die n-Ableitung von 1:xhoch2 auf und beweise sie mir vollständiger induktion. bin für jede hilfe dankbar |
Fern
| Veröffentlicht am Samstag, den 09. September, 2000 - 10:59: |
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Hallo Christian, f(x)= 1/x² =========== Wir bilden ein paar Ableitungen: f'= -2/x³ f"= 6/x4 f"'= -24/x5 f""= 120/x6 Dies führt zu der Vermutung: f(n) = (-1)n(n+1)!/xn+2 Dies müssen wir nun durch vollständige Induktion beweisen: Wir nehmen an, die blaue Formel ist richtig (= Hypothese) Wir müssen beweisen: Falls die Hypothese für n richtig ist, so ist sie auch für n+1 richtig. wir setzen zunächst für n->n+1 ein f(n+1)= (-1)n+1(n+1+1)!/(xn+1+2)= = (-1)(-1)n(n+1)!((n+2)/(xn+3) Dies ist also das Resultat, wenn wir n durch n+1 ersetzen. Jetzt differenzieren wir die (blaue) Hypothese direkt f(n)=(-1)n(n+1)!x-n-2 f(n+1)=(-1)n(n+1)!(-n-2)x-n-2-1= =(-1)n(n+1)!(-1)(n+2)/xn+3 Die beiden roten Resultate sind gleich, also ist die Formel für (n+1) richtig falls sie für n richtig ist. ========= Jetzt bleibt nur noch zu zeigen, dass die Formel für n=1 richtig ist: f'=(-1)1(1+1)!/x1+2=-2/x³ unser bekanntes Resultat. ========== Wir haben gezeigt: Formel für n=1 richtig dann auch für n+1, also für n=2 richtig, dann auch für n=3 richtig . . also für alle n richtig. =============================== |
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