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Beitrag |
    
Benjamin
| | Veröffentlicht am Samstag, den 16. Juni, 2001 - 16:57: | 
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Beweise die Umfanggleichung des Kreises mit Hilfe der Bogenlänge.
Hinweis:r²=y²+x² (diesen Hinweis im Beweis verwenden) |
Xell
| | Veröffentlicht am Samstag, den 16. Juni, 2001 - 17:59: |
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Also es gilt für die Bogenlänge B die Formel:
B = ò-r r Ö1+(f'(x))² * dx
mit f(x) = Ör²-x² gilt also
B = ò-r r Ö1+((Ör²-x²)')² * dx
<=> B = ò-r r Ö1-2x/Ör²-x² * dx
mit x = r * sin(z) <=> z = arcsin(x/r) => dz/dx = 1/(r*Ö1-(x/r)²) => dx = dz * r * Ö1-(x/r)²
=> B = ò-r r Ö1-2r*sin(z)/Ör²-r²*sin²(z) * r * Ö1-(x/r)² * dz
Kommst du damit weiter?
mfG |
Xell
| | Veröffentlicht am Samstag, den 16. Juni, 2001 - 18:01: |
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Sollte eigentlich klar sein: Das Integral in den Grenzen beschreibt -r und r beschreibt nur den umfang eines Halbkreises, also nicht wundern, wenn p*r rauskommt!
mfG |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Samstag, den 16. Juni, 2001 - 18:08: |
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Hi
Wir leiten die Kreisgleichung x^2 + y^2 = r^2
nach x ab und erhalten:
2 x +2 y y' = 0, also y' = dy / dx = - x / y oder
dy = - x / y * dx
Nun berechnen wir das Quadrat des Bogenelementes ds.
( ds ) ^2 = (dx) ^2 + ( dy ) ^2 = :[1 + x^2 / y^2 } (dx)^2
also
(ds)^2 )= [ (x^2 + y^2)/y^2 ] * (dx)^2 = r^2 / y^2 * ( dx )^2
daraus ds = r / y * dx ,wobei y = wurzel (r^2 - x^2)
Um die Länge B eines Viertelkreisbogens zu bekommen.
integrieren wir ds in den Grenzen x = 0 bis x = r
B = int [ {r / wurzel(r^2 - x^2)} * dx] in den genannten Grenzen
B = int [ {1 / wurzel (1 - x^2/r^2)}* dx ]
= r * arc sin (x/r) in den genannten Grenzen.
Wir erhalten B = ½ * Pi * r ,wie es sein muss.
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
Benjamin
| | Veröffentlicht am Samstag, den 16. Juni, 2001 - 18:12: |
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Ich Danke euch!!!
Das ging ja echt schnell.
Krieg jetzt bestimmt die bessere Note auf meinem HJ-Zeugnis!
Dank nochmal! |
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