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Thomas Richter (Mac99)
| Veröffentlicht am Sonntag, den 08. Oktober, 2000 - 12:19: |
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HI! Wer kann mir bei dieser Aufgabe helfen??? Die Geraden g und h sind durch die folgende Gleichungen gegeben: g: x=(1;a;2)+t(b;3;4) ; h: x=(c;0;3)+s(3;1;d) (a,b,c,d Element R). Unter welchen Voraussetzungen über die Werte von a,b,c,d in den Gleichungen von g und h gilt: a) g ist parallel zu h b) g=h c) g schneidet h |
H.R.Moser,megamath.
| Veröffentlicht am Montag, den 09. Oktober, 2000 - 05:32: |
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Hi Thomas, a) Die Richtungsvektoren u = {b;3;4}und v = {3;1;d} der Geraden g und h müssen kollinear sein; aus der Proportion b : 3 = 3 : 1 = 4 : d folgt sofort : b = 9 , d = 4 / 3. b) ausser der Bedingung unter a müssen Bedingungen für a und c erfüllt sein. Wir verlangen, dass der Punkt H (c / 0 / 3 ) von h auf g liegt, diese conditio sine qua non lautet (der Wert b= 9 in der Gleichung von h wir verwertet) : c = 1 + 9 * t , 0 = a + 3 * t , 3 = 2 + 4 * t. Daraus: ( t = ¼ ) , c = 13 / 4 , a = - 3 / 4 . c) Es gibt mehrere Methoden, diese Aufgabe zu lösen Wir wählen die Methode mit dem Vektorprodukt p der Richtungsvektoren u und v p stellt einen Normalenvektor der Ebene E dar,in der die sich schneidenden Geraden g und h liegen. Dabei nehmen wir an , dass diese Geraden eine Ebene aufspannen und die Bedingung unter a) nicht erfüllt ist Die Koordinaten des Vektorproduktes sind schnell berechnet: p = {3 d - 4 ; 12 - b * d ; b - 9 } Eine Koordinatengleichung von E lautet: (3 d-4 ) x +(12 - b d) y +( b - 9 ) z = D (konst.) Der Punkt G(1/a/2) von G lieht auf dieser Ebene ,also: (3 d - 4 )*1 +( 12 - b d) * a + ( b -9 ) * 2 = D..............(Gl I) Der Punkt H (c/0/3) von h liegt auf E ,also: (3 d - 4 )* c + ( 12 -b d ) * 0 + ( b - 9) * 3 = D.............(Gl II) Setzt man die linken Seiten der Gleichungen I und II einander gleich,so erhält man die gesuchte Bedingung: a * b * d + 3 c * d - 12 * a + b - 4 * c - 3 * d - 5 = 0 Mit freundlichen Grüssen H.R.Moser,megamath |
H.R.Moser,megamath.
| Veröffentlicht am Montag, den 09. Oktober, 2000 - 09:23: |
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Hi Thomas, Die Teilaufgabe c) lässt sich auch ohne Benützung des Vektorproduktes lösen, indem man gleichnamige Koordinaten aus den Parametergleichungen für g und h einander gleichsetzt . Gleichsetzung der x- Koordinaten führt auf: 1 + t * b = c + 3 * s Gleichsetzung der y-Koordinaten ergibt: a + 3 * t = 0 + s. Aus diesen Gleichungen berechnen wir die Parameterwerte t und s: t = ( 1 - c - 3 * a) / ( 9 - b ) für b ungleich null , s = (3 - 3 c - a * b) / ( 9 - b) Diese Werte setzen wir in die Gleichung ein, welche aus der Gleichsetzung der z-Werte entsteht ,d.h. in die Gleichung: 2 + 4* t = 3 + s * d. Schafft man die Brüche weg und vereinfacht, so entsteht wiederum die Bedingung: a * b * d +3 * c* d -12 * a + b - 4 * c -3 * d - 5 = 0. Mit freundlichen Grüssen H.R.Moser,megamath. |
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