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Jessy
| Veröffentlicht am Dienstag, den 25. September, 2001 - 13:39: |
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Wir sollen die Schwingungsgleichung einer harmonischen Schwingung an einer Schraubenfeder herleiten (Masse des schwingendden Körpers: m, Richtgröße der Feder: D). Folgende Bedingungen sollen gelten: s(0)=3cm. s'(0)=2m/s Nach welcher Zeit erfolgt der erste Durchgang durch die Ruhelage? Ich wäre sehr dankbar, wenn mir jemand bei diesem Problem helfen könnte. Thanks, Jessy. |
Toby (Toby)
| Veröffentlicht am Dienstag, den 25. September, 2001 - 14:41: |
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Hallo Jessy! Für Physikfragen wende dich das nächst mal bitte an das Physikboard. Eine harmonische Schwingung liegt immer dann vor, wenn die Rückstellkraft FR proportional zur Auslenkung s ist, also wenn FR ~ s. Für die Frequenz f gilt: f = 1/T (T: Umlaufdauer) Für die Winkelgeschwindigkeit w gilt: w = 2*pi*f (f: Frequenz) Herleitung für die Differentialgleichung (DGL) am Federpendel: [Anm.: Beim Aufstellen der DGL steht links immer die beschleunigende Kraft. Diese wird immer gleichgesetzt mit der negativen Rückstellkraft FR, da die Rückstellkraft FR immer der Auslenkungsrichtung s entgegengesetzt ist.] F = - FR m*a(t) = - D*s(t) m*s''(t) + D*s(t) = 0 s''(t) + D/m * s(t) = 0 Lösungsansatz (allgemein): s(t) = s(0)*sin(w*t) ist die Schwingungsgleichung s'(t) = s(0)*w*cos(w*t) = v(t) (Anmerkung: Bei dieser Gleichung siehst du, dass s'(0)=s(0)*w=2m/sec ist, siehe Aufgabenstellung. Die Angabe von s'(0) wäre nicht zwingend gewesen. So lässt sich jedoch T sehr schnell berechnen, weiter unten findest du eine weitere, allgemeinere Möglichkeit zur Berechnung von T.) und zu letzt noch die Gleichung s''(t) = -s(0)*w2*sin(w*t) = v'(t) = a(t) Setzt man das nun in die obere Differential-Gleichung ein, so erhält man diese Gleichung: - m*s(0)*w2*sin(w*t) + D*s(0)*sin(wt) = 0 Diese Gleichung ist nur gleich 0, wenn D=m*w2 ist. Aus dieser Gleichung lässt sich eine Gleichung für die Periodendauer T herleiten: w2 = D/m 4*pi2*f2 = D/m f2 = D/(4*pi2*m) f = 1/(2*pi) * Wurzel aus(D/m) T = 2*pi * Wurzel aus(m/D) [der Kehrwert] Die Ruhelage wird zum ersten Mal bei t=T/4 erreicht. Wenn du die Werte einsetzt erhälst du die Lösung. Gruß Toby |
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