Autor |
Beitrag |
Tristano (Tristano)
| Veröffentlicht am Sonntag, den 02. September, 2001 - 11:17: |
|
Hallo, wer kann mir diese Aufgabe komplett lösen? 1²+2²+3³+...+n² =n(n+1)(2n+1) /6 Danke. |
Thomaspreu (Thomaspreu)
| Veröffentlicht am Sonntag, den 02. September, 2001 - 12:34: |
|
Induktionsschluss: Annahme: für ein n gelte Sn i=1i2=n*(n+1)*(2*n+1)/6 Dann gilt: Sn+1 i=1i2=Sn i=1i2+(n+1)2=n*(n+1)*(2*n+1)/6+(n+1)2= (n+1)*(n*(2*n+1)/6+(n+1))=(n+1)*((2*n2+n)/6+6*(n+1)/6)= (n+1)*(2*n2+7*n+6)/6=(n+1)/6*(2*n2+7*n+6)= (n+1)/6*(2*n+3)*(n+2)=(n+1)*((n+1)+1)+(2*(n+1)+1)/6 Wenn dir der rote Schritt unklar ist, so gehe ihn rückwärts: multipliziere (2*n+3)*(n+2) aus und (2*n2+7*n+6) kommt raus. Setzt man für n+1=x so erhält man: (n+1)*((n+1)+1)+(2*(n+1)+1)/6=x*(x+1)+(2*x+1)/6 Das ist genau obiger Term nur mit x statt n Induktionsanfang: S1 i=1i2=12=1=6/6=1*2*3/6=1*(1+1)*(2*1+1)/6 q.e.d. |
Tristano (Tristano)
| Veröffentlicht am Sonntag, den 02. September, 2001 - 15:05: |
|
Danke für die Lösung. Mir ist jedoch unklar, wie die Potenz vor der ersten Doppelklammer verschwindet. Aus (n+1)² wird (n+1)). Kannst du mit das erklären? |
|