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Crowmat (Crowmat)
Mitglied
Benutzername: Crowmat
Nummer des Beitrags: 21
Registriert: 12-2004
| | Veröffentlicht am Samstag, den 03. Dezember, 2005 - 16:27: | 
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hi!
ICH WEIß bei folgenden aufgaben nicht wie ich ansetzen soll:
für welches z aus C ist sinz=1000???
und welche werte sind für ln 5 möglich?
gruß
crowmat |
Mythos2002 (Mythos2002)
Senior Mitglied
Benutzername: Mythos2002
Nummer des Beitrags: 1636
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 03. Dezember, 2005 - 18:07: |
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Hi,
cos²(z) = 1 - sin²(z) = -999999
cos(z) = + (/-) i*sqrt(999999)
-----------------------
Euler'sche Relation:
cos(z) +i*sin(z) = e^(i*z)
-----------------------
nun mal für das positive Vorzeichen:
+ i*sqrt(999999) + 1000i = e^(i*z)
i*(sqrt(999999) + 1000) = e^(i*z)
für i = e^(i*pi/2) einsetzen
e^(i*pi/2)*(sqrt(999999) + 1000) = e^(i*z)
logarithmieren
i*(pi/2) + ln((sqrt(999999) + 1000)) = i*z | :i
z_1 = pi/2 - i*ln((sqrt(999999) + 1000))
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Für das negative Vorzeichen ist
z_2 = pi/2 - i*ln((-sqrt(999999) + 1000))
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Der Logarithmand ist positiv, weil die Wurzel kleiner als 1000 ist.
Zur 2. Frage,
ln(5) ist ln(5), da gibt's nur einen Wert
wo ist das Problem ???
Gr
mYthos |
Mythos2002 (Mythos2002)
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Benutzername: Mythos2002
Nummer des Beitrags: 1637
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 03. Dezember, 2005 - 18:16: |
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Falls sin(z) = ln(5) gemeint ist, gehst du analog vor, indem du statt mit 1000 eben mit ln(5) rechnest.
sin(z) = ln(5)
cos(z) = i*sqrt((ln²(5) - 1) .. [Radikand positiv!]
-----------------------------
......... |
Crowmat (Crowmat)
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Benutzername: Crowmat
Nummer des Beitrags: 22
Registriert: 12-2004
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 04. Dezember, 2005 - 09:29: |
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hi! ich werd gleich mal versuchen ob ich das nachvollziehen kann! soweit ich mir das denke ist ln5 im komplexen zu rechnen!und deshalb soll es wohl verschiedene werte geben!ich weiß aber eben nicht wie ich diese herrausbekomme??
gruß und vorerst vielen dank.crowmat! |
Crowmat (Crowmat)
Mitglied
Benutzername: Crowmat
Nummer des Beitrags: 23
Registriert: 12-2004
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 04. Dezember, 2005 - 11:02: |
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hi! ich habs jetzt mal nachgerechnet und noch eine weitere frage: wenn ich beim negativen vorzeichen für -i= e^(3/2*pi) einsetze komme ich aug z= 3/2*pi-i*ln(sqrt(999.999)+1000))
wenn ich hiermit die probe mache, komme ich jedoch auf ein ergebnis von -1000, wie kommt das?
gruß crowmat |
Mythos2002 (Mythos2002)
Senior Mitglied
Benutzername: Mythos2002
Nummer des Beitrags: 1641
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 05. Dezember, 2005 - 00:15: |
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Hi,
z = (3/2)*pi - i*ln(sqrt(999999)+1000))
ist nicht richtig, denn das erste Minus betrifft den Vorzeichenwechsel bei der Wurzel, es ist daher nicht vor dem Logarithmus, sondern vor der Wurzel; das zweite Minus vor dem Logarithmus ergibt sich erst später bei der Division durch i (1/i = -i).
Die ganze Rechnung:
für das negative Vorzeichen:
- i*sqrt(999999) + 1000i = e^(i*z) .. links i ausklammern
i*(-sqrt(999999) + 1000) = e^(i*z)
für i = e^(i*pi/2) einsetzen
e^(i*pi/2)*(-sqrt(999999) + 1000) = e^(i*z)
logarithmieren
i*(pi/2) + ln(-sqrt(999999) + 1000) = i*z | :i
z_2 = pi/2 - i*ln(-sqrt(999999) + 1000)
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Es sei noch bemerkt, dass die Lösungen z1 und z2 natürlich nur die ersten 4 Quadranten betreffen. Es existieren wegen der Periodizität 2pi im Einheitskreis weitere (unendlich viele) Lösungen mit den Hauptwerten der Winkel vermehrt um ganzzahlige Vielfache von 2pi.
i = e^(pi/2) = e^(5pi/2) = ... = e^(pi/2 + 2k*pi), k € Z
Gr
mYthos |
Crowmat (Crowmat)
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Benutzername: Crowmat
Nummer des Beitrags: 24
Registriert: 12-2004
| | Veröffentlicht am Montag, den 05. Dezember, 2005 - 16:35: |
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ich danke dir Mythos!Habs jetzt verstanden :-)
Aber nochmal ne frage zu meiner zweiten aufgabe: Welche werte kann ln 5 annehmen (im komplexen)?
kann es sein das ln5 ={ln 5 +2*pi*i*k, k aus Z} ist?? oder stimmt das nicht? |
Mythos2002 (Mythos2002)
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Benutzername: Mythos2002
Nummer des Beitrags: 1643
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 05. Dezember, 2005 - 18:53: |
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Ja, das ist richtig!
Begründung:
5 = 5*1 = 5*e^(i*0) = 5*e^(i*(0 + 2k*pi))
-->
ln(5) = ln(5) + i*2k*pi
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Während es im Reellen nur einen ln(5) gibt - deswegen war ich anfangs über diese Frage verwundert, wie man sieht, etwas vorschnell -, gibt es im Komplexen dafür tatsächlich unendlich viele Werte.
Gr
mYthos |
