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Tim
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 03. November, 2005 - 14:05: | 
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a) Sei P Telmenge von Z (Z>0) die Menge der Primzahlen. Man zeige, dass die Menge der reellen Zahlen {log(p)/p Element P) eine über Q linear-unabhängige Teilmenge von R bildet. Hierbei kann man ohne Beweis den Satz von der eindeutigen Primfaktorzerlegung benutzen.
b) Leiten Sie aus der Funktionalgleichung der Exponentialfunktion ab, dass für jedes a Element Q die komplexe Zahl exp(aiPi)algebraisch über Q ist. Schliessen Sie weiter unter Verwendung der Eulerschen Formel, dass für jedes a Element Q die reellen Zahlen cos(aPi) und sin (aPi) algebraisch über Q sind. |
Orion (Orion)
Senior Mitglied
Benutzername: Orion
Nummer des Beitrags: 1076
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 03. November, 2005 - 17:09: |
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Tim,
Hinweis
a) Nimm an, dass für eine beliebige endliche Menge
{p1,...,pk} von Primzahlen eine lineare Relation
(1) Sk i=1 ai*log(pi) = 0
besteht, wobei die ai o.B.d.A. ganzzahlig sind
(anderenfalls erweitere mit dem Hauptnenner der ai). (1) ist gleichbedeutend mit
Produkt{(pi)ai| i=1,...,k} = 1.
Schafft man die Faktoren mit negativem Exponenten
auf die rechte Seite, so kann man nun den Satz von
der eindeutigen Primzerlegung anwenden. Es folgt
ai = 0 für i=1,...,k.
b) a = exp(mpi/n)
erfüllt offenbar die algebraische Gleichung
z2n - 1 = 0.
Dasselbe gilt für die Konjugierte a*. Also ist
cos(mp/n) = (a+a*)/2
algebraisch, ebenso
sin(mp/n) = (a-a*)/(2i)
(Beitrag nachträglich am 03., November. 2005 von orion editiert)
mfG Orion
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Orion (Orion)
Senior Mitglied
Benutzername: Orion
Nummer des Beitrags: 1077
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 03. November, 2005 - 17:11: |
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Tim,
Hinweis:
a) Nimm an, dass für eine beliebige endliche Menge
{p1,...,pk} von Primzahlen eine lineare Relation
(1) Sk i=1 ai*log(pi) = 0
besteht, wobei die ai o.B.d.A. ganzzahlig sind
(anderenfalls erweitere mit dem Hauptnenner der ai). (1) ist gleichbedeutend mit
Produkt{(pi)ai| i=1,...,k} = 1.
Schafft man die Faktoren mit negativem Exponenten
auf die rechte Seite, so kann man nun den Satz von
der eindeutigen Primzerlegung anwenden. Es folgt
ai = 0 für i=1,...,k.
b) a = exp(mpi/n)
erfüllt offenbar die algebraische Gleichung
z2n - 1 = 0
mfG Orion
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Tim
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Samstag, den 05. November, 2005 - 16:09: |
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Vielen Dank für die Hilfe Orion,
Schönen Gruß
Tim |
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