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Gingeralien (Gingeralien)
Neues Mitglied
Benutzername: Gingeralien
Nummer des Beitrags: 4
Registriert: 04-2003
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 27. Oktober, 2004 - 22:17: | 
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Wie kann man zeigen, daß die Menge der Funktionen von f: A -> IN abzählbar ist, wenn A eine endliche Menge ist?
Meine Idee: Jedem a Element A können dann in verschieden Funktionen abzählbar unendlich viele Funktionswerte aus IN zugeordnet werden. Ich würde also sagen, es handelt sich um eine Vereinigung von endlich vielen abzählbar unendlichen Mengen - reicht das schon um zu zeigen, daß die Gesamtmenge abzählbar unendlich ist? |
Christian_s (Christian_s)
Senior Mitglied
Benutzername: Christian_s
Nummer des Beitrags: 1612
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 29. Oktober, 2004 - 14:05: |
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Hallo
Ich würde es folgendermaßen machen. Du betrachtest bei jeder Funktion f die Summe der Funktionswerte. Dann bildest du Mengen Mi mit Mi={f|sum(a aus A) f(a) = i } für i aus IN.
Da A endlich ist, ist auch jedes Mi endlich. Außerdem liegt jede Funktion f in genau einem Mi. Damit ist die Menge M der Funktionen f: A->IN gerade die Vereinigung der Mengen Mi. D.h. M ist die Vereinigung von abzählbar vielen endlichen Mengen und damit abzählbar.
MfG
Christian
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Sotux (Sotux)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Sotux
Nummer des Beitrags: 447
Registriert: 04-2003
| | Veröffentlicht am Samstag, den 30. Oktober, 2004 - 11:25: |
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Hi,
wenn A m Elemente besitzt so ist die Menge der Funktionen von A nach N gleichmächtig wie die der m-Tupel über N, d.h. du hast ein endliches Kreuzprodukt N^m einer abzählbaren Menge und das ist abzählbar, wie man mit dem Diagonalverfahren (ordnen der Tupel nach dem Maximalwert)leicht nachweisen kann. |
