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Abzählbarkeit einer Menge von Funktionen

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Gingeralien (Gingeralien)
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Neues Mitglied
Benutzername: Gingeralien

Nummer des Beitrags: 4
Registriert: 04-2003
Veröffentlicht am Mittwoch, den 27. Oktober, 2004 - 22:17:   Beitrag drucken

Wie kann man zeigen, daß die Menge der Funktionen von f: A -> IN abzählbar ist, wenn A eine endliche Menge ist?

Meine Idee: Jedem a Element A können dann in verschieden Funktionen abzählbar unendlich viele Funktionswerte aus IN zugeordnet werden. Ich würde also sagen, es handelt sich um eine Vereinigung von endlich vielen abzählbar unendlichen Mengen - reicht das schon um zu zeigen, daß die Gesamtmenge abzählbar unendlich ist?
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Christian_s (Christian_s)
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Senior Mitglied
Benutzername: Christian_s

Nummer des Beitrags: 1612
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 29. Oktober, 2004 - 14:05:   Beitrag drucken

Hallo

Ich würde es folgendermaßen machen. Du betrachtest bei jeder Funktion f die Summe der Funktionswerte. Dann bildest du Mengen Mi mit Mi={f|sum(a aus A) f(a) = i } für i aus IN.
Da A endlich ist, ist auch jedes Mi endlich. Außerdem liegt jede Funktion f in genau einem Mi. Damit ist die Menge M der Funktionen f: A->IN gerade die Vereinigung der Mengen Mi. D.h. M ist die Vereinigung von abzählbar vielen endlichen Mengen und damit abzählbar.

MfG
Christian
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Sotux (Sotux)
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Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Sotux

Nummer des Beitrags: 447
Registriert: 04-2003
Veröffentlicht am Samstag, den 30. Oktober, 2004 - 11:25:   Beitrag drucken

Hi,

wenn A m Elemente besitzt so ist die Menge der Funktionen von A nach N gleichmächtig wie die der m-Tupel über N, d.h. du hast ein endliches Kreuzprodukt N^m einer abzählbaren Menge und das ist abzählbar, wie man mit dem Diagonalverfahren (ordnen der Tupel nach dem Maximalwert)leicht nachweisen kann.

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