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Zyron (Zyron)
Junior Mitglied
Benutzername: Zyron
Nummer des Beitrags: 16
Registriert: 10-2000
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 30. Dezember, 2003 - 12:24: | 
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Ich brauch so kurz vorm Jahreswechsel ma wieder eure hilfe!
Aufgabe:
Es seien (an) und (bn) zwei Folgen in einem angeordneten Körper K.
Beweisen oder widerlegen Sie folgende Aussagen:
(a) Sind (an) und (bn) Cauchy-Folgen, dann ist (an*bn) es auch.
(b)Summe(k=0 bis inf)[ak] konvergiert <== Für alle Epsilon > 0 existiert ein N € Nat: |Summe(k=m bis n)[ak]|<Epsilon , für alle m,n € Nat, n>=m>=N.
Ich weis dass ich bei (a) |an-am|*|bn-bm|<Epsilon1*Epsilon2 rauskriegen muss, doch bei dem Ansatz |(an*bn)-(am*bm)| häng ich schon fest.
Wäre für Hilfe sehr Dankbar |
Orion (Orion)
Senior Mitglied
Benutzername: Orion
Nummer des Beitrags: 741
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 30. Dezember, 2003 - 15:12: |
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Zyron,
(a) Es gilt
| anbn - ambm | =
| an(bn-bm) + bm(an-am) | £
|an||bn-bm| + |bm||an-am|.
Cauchyfolgen sind beschränkt, d.h. es gibt positive A,B
mit
|an|<A und |bm|<B für alle m,n.
Die rechte Seite obiger Ungleichung lässt sich also
durch
A|bn-bm| + B|an-am|
abschätzen. Zu gegebenem e > 0 gibt es nun
nach Voraussetzung ein N sodass für alle m,n>N :
|an-am| < e/2B und
|bn-bm|< e/2A.
Für diese m,n gilt daher
|anbn - ambm| < e/2+e/2
= e.
(b) Sei
sn := Sn k=0ak,
Dann ist für m£n
Sn k=m ak = sn - sm-1.
Jede konvergente Folge ist a fortiori eine Cauchyfolge,
die Umkehrung gilt jedoch nicht in jedem angeordnetem Körper . Gegenbeispiel : K = Q.
Seien etwa z0,z1,...,zk,... die Dezimalziffern
einer Irrationalzahl
a = S¥ k=0 zk10-k
(z.B.sqrt(2)). Dann gilt für die Teilsummen sn:
|sn-sm-1| = Sn k=m zk 10-k
£9*10-m*(1+1/10+...+(1/10)n-m)
< 9/(1-1/10)*10-m
= 10-m+1
Dies wird < als jedes e>0 für hinreichend
grosses m. Daher ist (sn) eine Cauchyfolge, welche
aber in Q nicht konvergiert, da ja a nach
Annahme nicht in Q liegt.
(Beitrag nachträglich am 30., Dezember. 2003 von Orion editiert)
mfG Orion
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Zyron (Zyron)
Junior Mitglied
Benutzername: Zyron
Nummer des Beitrags: 17
Registriert: 10-2000
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 30. Dezember, 2003 - 18:19: |
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wahnsinn, vielen dank!bei a hat mir wiedermal nur der entscheidende kniff gefehlt! ;(
bei b muss ich erstma durchsteigen, aber dickes dankeschön für deine hilfe |
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