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Lars3 (Lars3)
Junior Mitglied
Benutzername: Lars3
Nummer des Beitrags: 8
Registriert: 11-2003
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 30. Dezember, 2003 - 16:42: | 
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guten tag zusammen ich hoffe ihr hattet schöne weihnachten....ich schon...
Es sei f:R-->R eine Funktion mit der Eigenschaft
|f(x)-f(y)|<= 1/2|x-y| für alle x,y element R. (1)
Beginnend mit x1=1 bilde man x2=f(x1)und allgemein jeweils xk+1=f(xk).
2.1
Geben Sie für das Beispiel f(x)=3+1/2x eine explizite Formel für xk+1 an und beweisen sie diese.
2.2
Beweisen für den allgemeinen Fall, dass der Limes x*= lim k->oo xk stets existiert und f(x*) = x* gilt.
Hinweis: Zeigen sie zuerst als entscheidende Hilfsaussage, dass eine Cauchy Folge entsteht, indem sie (1) mehrfach benutzen.
Es wäre schön wenn sich das jemand mal ansieht...lars |
Orion (Orion)
Senior Mitglied
Benutzername: Orion
Nummer des Beitrags: 742
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 30. Dezember, 2003 - 19:28: |
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Lars,
ich fange mal hinten an :
Zunächst zeigst du induktiv , dass für k>0
|xk+1 - xk| < (1/2)k|x1 - x0|.
Daraus folgt
|xm+k - xm| = |xm+k-xm+k-1 + xm+k-1 -
xm+k-2 +...+xm+1-xm|
£ |xm+k-xm+k-1| +...+ |xm+1-xm|
< [(1/2)m+k-1+...+(1/2)m] |x1-x0|
= (1/2)m(1+(1/2}+...+(1/2}k-1) |x1-x0|
< (1/2)m-1 |x1-x0|.
Wenn m hinreichend gross, so wird dies beliebig klein
(< e). (xn) ist somit Cauchyfolge, also
konvergent (Vollständigkeit von R !)
Für das Beispiel f(x) = 3 + 1/(2x) gilt
|f(x)-f(y)| = (1/2)|x-y|/|xy|.
Wenn x1=1, so folgt 1£xn < 7/2 für alle n.
daher
|xn+1-xn| < (1/2)|xn-xn-1| .
Also liegt eine Cauchyfolge vor. Der Grenzwert ist
diejenige Lösung von x=3+1/(2x) <=> x2-3x-1/2=0
welche > 1 ist, also
x* = (3+sqrt(11))/2
mfG Orion
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Orion (Orion)
Senior Mitglied
Benutzername: Orion
Nummer des Beitrags: 743
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 31. Dezember, 2003 - 11:14: |
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Lars,
Es mag sein, dass ich 2.1 falsch interpretiert habe,
gemeint ist vermutlich
f(x) = 3 + (1/2)x.
Dann ist die Sache einfach. Sei sogar allgemein
f(x) = qx+b, |q| < 1 , xn+1 = f(xn).
Man zeigt leicht durch Induktion
xn = qnx0 + b(1-qn)/(1-q) =>
limn®¥ xn = b/(1-q).
Auch für f(x) = 3+1/(2x) lässt sich xn explizit als
Funktion von n angeben, es ist nur etwas komplizierter.
Die Aussage x*=f(x*) folgt übrigens aus der Stetigkeit
von f :
x*=lim xn+1 = lim f(xn) = f(lim xn) = f(x*).
mfG Orion
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