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Sabine (hope17de)
Neues Mitglied Benutzername: hope17de
Nummer des Beitrags: 3 Registriert: 04-2003
| Veröffentlicht am Montag, den 12. Mai, 2003 - 18:29: |
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Hallo! Ich kann mit der folgenden Aufgabe überhaupt nichts anfangen: Sei f eine lineare Abbildung eines reellen Vektorraums in sich mit Eigenwert k. a) Sei f invertierbar. Bestimmen Sie einen Eigenwert von f-1. b) Bestimmen sie einen Eigenwert von fn+1 fn für n Element N. c) Sei f eine lineare Abbildung des R3 in sich, so dass f3 = f2, nicht aber f2 = f gilt. Ist f diagonalisierbar? d) Geben sie ein Beispiel für f aus c) an. Kann mir jemand helfen? Danke, Sabine |
Ingo (ingo)
Moderator Benutzername: ingo
Nummer des Beitrags: 632 Registriert: 08-1999
| Veröffentlicht am Dienstag, den 13. Mai, 2003 - 02:09: |
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a) Sei x Eigenvektor zum Eigenwert k. Dann gilt x=f-1(f(x))=f-1(kx)=kf-1(x) Da f invertierbar ist, ist k¹0 und somit f-1(x)=k-1x b)kn ist Eigenwert von fn. Beweis durch Induktion. c) Wegen f³=f² gilt für jeden Eigenwert k von f die Gleichung k3=k2 folglich ist k=1 oder k=0. Wäre f diagonalisierbar, dann würde es einen Basis {a1,a2,a3} geben, für die f(ai)=ai oder f(ai)=0 gilt. Damit wäre aber automatisch auch f²=f, also ist f nicht diagonalisierbar. d) f(x,y,z)=(0,x,0) oder auch f(x,y,z)=(z,z,0) |
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