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Beitrag |
    
Tom
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 25. Dezember, 2001 - 07:01: | 
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Hallo !
Die Aufgabe, die mir stark Probleme bereitet, ist:
Zeigen Sie, daß
x³-2x²-20x-14
-------------- = 0 mindestens3 Lösungen hat.
e^x + 1
Ich hab nicht mal ne Ahnung, wie ich anfangen soll, meiner Meinung nach ist es einfach logisch, daß ein Polynom 3ten Grades 3 Lösungen hat.
Danke
Tom. |
Orion (Orion)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 25. Dezember, 2001 - 09:57: |
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Tom :
Die Nullstellen der gegebenen Funktion sind
genau die Nullstellen des Zaehlerpolynoms p(x). Falls nach reellen Nullstellen gefragt ist, so ist
es durchaus nicht "logisch", dass deren Anzahl
drei ist, Gegenbeispiele liegen auf der Hand !
Im vorliegenden Fall rechnest du nach, dass
p(x) in den Intervallen [-4,-3], [-1,0] und
[5,6] Vorzeichenwechsel erleidet. Nach dem
Zwischenwertsatz fŸr stetige Funktionen liegt
daher in jedem dieser Intervalle (mindestens)
eine Nullstelle.
mfg
Orion |
Tom
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 25. Dezember, 2001 - 14:18: |
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Danke erstmal für deine Antwort, Orion !
nur hab ich jetzt noch eine Frage:
wenn ich davon ausgehe, daß ich gar nichts weiß, wie komme ich dann auf die 3 Intervalle ?
Durch ausprobieren ? |
Orion (Orion)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 25. Dezember, 2001 - 15:38: |
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Warum nicht ? Man koennte auch einen Graphen
skizzieren, was man ja in der Schule gelernt
hat.
Orion |
Florian
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 25. Dezember, 2001 - 21:23: |
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Hallo Orion,
wenn diese oben genannten Methoden nicht greifen,
welche (mathematischen) Methoden gibt es , die erforderlichen Nullstelle(n) zu finden??
Wahrscheinlich nur numerisch zu berechnen, oder??
mfg
Florian |
Thomas
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 25. Dezember, 2001 - 22:27: |
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Hallo Florian,
für Polynome 3. und 4. Grades gibt es Lösungsformeln, aber die kann niemand und braucht auch niemand.
Wenn eine Lösung erraten werden kann, kann man nach Polynomdivision die anderen beiden (falls vorhanden) ermitteln.
Falls das nicht geht, mit Zeichnung/Wertetabelle o. ä. Näherungswerte bestimmen und ein numerisches Verfahren (z.B. Newton) anwenden.
Grüße,
Thomas |
N.
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 26. Dezember, 2001 - 20:38: |
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Hallo Kollegen,
x³-2x²-20x-14
-------------- = 0
e^x + 1
Wir müssen wie Orion schon sagte die Nullstellen von f(x)=x³-2x²-20x-14=0
Vorab das Ergebnis: Es gibt tatsächlich 3 reelle Nullstellen und sie liegen alle in den von Orion genanten Intervallen.
Die genauen Lösungen sind:
x1=5,83719
x2=-3,05111
x3=-0,78608
oooooooooooooooooooooooooooooooo
Wir wollen nun durch algebraische Methoden(Cardanische Formel) diese 3 Nullstellen berechnen. Hier ist eine Skizze des Rechenweges ohne große Komentare.
x³-2x²-20x-14=0 |*27
27x³-54x²-540x-378=0
(s+t)³=s³+3s²t+3st²+t³ =>Koeffizientenvergleich
s=3x; t=-2
=>
(3x-2)³=576x+370
Substitution:
3x-2=y
=>
y³=192y+754
Substitution:
y=u+v und Koeffizientenvergleich führen auf quadratische Resolvente
z²-754z+64³
z1;2=377±Ö(64³-377²)*i
=> Satz v. Moivre
³Ör=Ö64=8
cosf=377/512=>
f=42,58044°
y1=2*8*cos(14,19348°)=15,511572
y2=2*8*cos(134,19348°)=-11,153336
y3=2*8*cos(254,19348°)=-4,3582359
x1=(y1+2)/3=5,8371907
x2=(y2+2)/3=-3,051112
x3=(y3+2)/3=-0,7860786
=========================================
Unsere Ergebnisse sind also noch genauer...
Also, wer es nicht numerisch probieren möchte kann es auch so ausrechnen!
Es ist im prinzip gar nicht so schwer....
Gruß N. |
Heinzelmänchen
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 26. Dezember, 2001 - 21:13: |
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Hallo N.,
Du nennst Deine Lösungen genau!
Es sind aber nur Näherungslösungen!
Grüße, Heinzelmänchen |
N.
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 27. Dezember, 2001 - 08:50: |
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Hi Heinzelmänchen,
natürlich sind meine Ergebnisse genau, die ausgerechneten Eergebnisse habe ich natürlich gerundet aber ich habe wenigsdtens einen algebraischen Term den ich so genau usrechnen ann wie ich will!
Wie wär's hiermit:
x1=(16*cos((arccos(377/512))/3)+2)/3
x2=(16*cos((arccos(377/512))/3 +120°)+2)/3
x3=(16*cos((arccos(377/512))/3 +240°)+2)/3
ooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo
so, und wenn diese Terme nicht Genau sind.....
Gruß N. |
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