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Beitrag |
    
Tobias Wieland (Mbstudi)
| | Veröffentlicht am Montag, den 29. Oktober, 2001 - 21:42: | 
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Hallo
Ich habe schon wieder eine Aufgabe auf meinem ANA-Übungsblatt die mir Rätsel aufgibt. Hoffentlich kann jemand von euch mir helfen.
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Sei p eine feste Primzahl. Für eine natürliche Zahl a sei
v_p(a) = max{k Element N_0; p^k teilt a}.
Ist r =a/b Element Z - {0} eine rationale Zahl, so setze man
v_p(r) = v_p(|a|) - v_p(|b|)
Zeigen Sie, daß durch
d_p(r,s) = p^(-v_p(r-s)) falls r-s ungleich 0
oder 0 falls r-s = 0
eine Metrik auf Q definiert wird, die p-adische Metrik
(Hinweis: Benutzen Sie, daß sich jede natürliche Zahl grösser als 1 eindeutig als Produkt von Prim-zahlen schreiben lässt)
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Vielen Dank für eure Hilfe |
Hans (Birdsong)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 30. Oktober, 2001 - 14:47: |
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Tobias :
Im folgenden unterdrŸcke ich den Index _p, statt
p^(-v_p(r)) schreibe ich kurz |r| (p-adische Norm)
Man definiert noch |0| := 0. Dann gelten zunaechst die Aussagen
(1) |r| >= 0 , und |r|=0 <==> r=0.
(2) |r + s| =< max{|r| , |s|} (verschaerfte Dreiecksungleichung)
(3) |rs| = |r||s|.
Das beweist man leicht durch ZurŸckgehen auf die
Definition. Z.B. (2) : sei r = p^m*r_1
s = p^n*s_1 mit maximalen m,n und m=< n <==>
|r| >= |s|. Dann ist
r+s = p^m*(r_1 + p^(n-m)s_1) ==> v(r+s) >= m ==>
|r+s| =< |r| = max{|r|,|s|}.
FŸr die p-adische Distanz
d(r,s) := |r-s|
muss man zeigen:
(4) d(r,s) >= 0, und d(r,s) = 0 <==> r=s
(5) d(r,s) = d(s,r)
(6) d(r,t) =< max{ d(r,s) , d(s,t)}
Das folgt nun unmittelbar aus (1)-(3), speziell
(6) wegen r-t = (r-s) + (s-t).
mfg
Hans |
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