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Golo Haas (Fox20)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 17. Oktober, 2001 - 15:59: | 
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Hallo,
wie kann man folgende Abschätzungen beweisen?
1. (1+(1/n))^n <= Summe k=0 bis n von 1/k!
2. e < 3
Danke,
Golo Haas |
Hans (Birdsong)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 18. Oktober, 2001 - 08:16: |
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Golo :
Entwickle nach dem binomischen Satz :
(1+1/n)^n = 2 + sum[k=2..n]binom(n,k)/n^k.
Beachte, dass fŸr n >=2
binom(n,k)/n^k = n(n-1)...(n-k+1)/k!n^k
= (1-1/n)(1-2/n)...(1-(k-1)/n)/k! < 1/k!.
Ferner : 1/k! =< 1/2^(k-1) fŸr k >= 2.
Geometrische Reihe !
mfG
Hans |
Pinky&Brain
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 18. Oktober, 2001 - 09:27: |
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Also, ich denke zu 1. hätte ich eine, wenn auch vielleicht etwas schwammige, Lösung.
Also, mit Induktion:
n=1 1=1 okay
n->n+1
[1+1/(n+1)]^(n+1) <= Summe k=0 bis n+1 über 1/k
=> Summe k=0 bis n+1 über 1/k = Summe k=0 bis n über 1/k + [1/(n+1)]
Nach Ind.vor. ist Summe n=0 bis n über 1/k = (1+1/n)^n
Für lim n->oo geht sowohl [1+1/(n+1)]^(n+1) als auch (1+1/n)^n gegen e
also:
e <= e + 1/(n+1) sollte wohl stimmt....
Okay okay....wenn ich es selber lese sieht es schon irgendwie noch komisch aus.
vielleicht kann ja einer damit was mehr anfangen! |
Pinky&Brain
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 18. Oktober, 2001 - 09:29: |
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Ups, das von Hans hatte ich noch nicht gesehen! Aber verstehen tu ich es auch nicht...lol |
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