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Niko (basicuser)
Junior Mitglied
Benutzername: basicuser
Nummer des Beitrags: 7
Registriert: 12-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 10. Dezember, 2002 - 13:49: | 
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Hallo mal wieder,
ich hab ein neues Problem, bei dem ich Hilfe gebrauchen könnte:
für welche a,b aus R hat f(x) = x^3 -ax +b genau eine Nullstelle ( und für welche a,b eine doppelte)?
Bin für jede Hilfe dankbar
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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 1903
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 10. Dezember, 2002 - 18:10: |
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Hi Nike,
Zur Feier des Tages, der Wiedererweckung des realen Zahlreich,
löse ich für Dich den zweiten Teil Deiner Aufgabe.
Wir betrachten zusammen das Gleichungspolynom
P(x) = x^3 – a x + b; der zugehörige Graph berühre die x-Achse
im Punkt P*(x* / 0) , x* wie x-Stern !
Dann gelten die Beziehungen
P(x*) = 0, P’ (x*) = 0, wobei P´ (x) die Ableitung von P(x) ist.
Mithin:
x* ^ 3 – a x* + b = 0 ..&
3 x* ^ 2 – a = 0
aus der zweiten Gleichung entnehmen wir
x* = (plus, minus) wurzel (a /3), wobei a>=0 sei.
Für b erhalten wir mit der ersten Gleichung nach leichter Rechnung:
b = (minus,plus) 2/3 a * wurzel(a/3)
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Beispiele
1)
Wahl a = 27 ; es folgt b = (plus,minus) 54
2)
Wahl a = 12 ; es folgt b = (plus,minus) 16
Freude herrscht!
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath
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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 1904
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 10. Dezember, 2002 - 21:47: |
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Hi Niko,
Die Lösung zum ersten Teil Deiner Aufgabe
ergibt sich unmittelbar aus der Lösung des zweiten Teils,
die ich Dir schon unterbreitet habe.
Führt man sich die Kurve der genannten kubischen Funktion P(x)
vor Augen und betrachtet man ihre Extremalstellen, so erkennt
man leicht, dass die folgende Bedingung erfüllt werden muss,
wenn P(x) genau eine Nullstelle haben soll:
Es muss in diesem Fall gelten:
b^2 > 4 a^3 / 27
°°°°°°°°°°°°°°°°
Dies stimmt cum grano salis und abgesehen vom Ungleichheitszeichen
mit dem Resultat für die zweite Teilaufgabe überein.
Wenn Du Dich mit den Cardanischen Formeln auskennst,
kannst Du die Aufgabe auch so lösen:
die kubische Gleichung liege in reduzierter Form vor und laute:
x^3 + 3 p x + 2 q = 0
Im vorliegenden Fall gilt p = - a / 3, q = b / 2.
Bilde den Term M = q ^ 2 + p ^ 3
Für unsere Gleichung kommt M = [27 b^2 – 4 a^3 ] / 108
Es gilt der Satz:
Die genannte kubische Gleichung besitzt drei reelle verschiedene
Lösungen, wenn M < 0 gilt,
zwei reelle verschiedene Lösungen, wovon eine doppelt zählt,
wenn M = 0 ist und
eine reelle und zwei konjugiert komplexe Lösungen, wenn M > 0
erfüllt ist.
Die Fälle M< = 0 segeln je unter dem Namen
Casus irreducibilis.
Wir postulieren den dritten Fall !
Die Bedingung für das Eintreffen dieses Falls lautet:
b^2 > 4 a ^3 / 27
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Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Niels (niels2)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: niels2
Nummer des Beitrags: 236
Registriert: 06-2001
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 10. Dezember, 2002 - 21:59: |
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Hi Niko,
dann schauen wir mal:
f(x)=x³-ax+b
Nullstellen:
x³-ax+b=0
x³=ax-b
x=u+v
=>
(u+v)³=a*(u+v)-b
u³+v³+3uv*(u+v)=a*(u+v)-b
=>
u³+v³=-b
3uv=a=>uv=a/3=>(uv)³=a³/27
quadratische Resolvente:
p²+bp+(a³/27)=0
p1=u³=(-b/2)+sqrt((b²/4)-(a³/27))
p2=v³=(-b/2)-qrt((b²/4)-(a³/27))
Nun ist die einzig reelle Nulstelle, wenn
D=(b²/4)-(a³/27)>0
x1=u+v
für D=(b²/4)-(a³/27)=0 existieren 3 reelle Lösungen wobei eine reelle Doppellösung vorkommt.
Sie lautet: x2;3=-u=-v
die andere Lösung ist x1=u+v
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Gruß N.
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Niko (basicuser)
Junior Mitglied
Benutzername: basicuser
Nummer des Beitrags: 8
Registriert: 12-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 11. Dezember, 2002 - 10:46: |
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Respekt meine Herren, Respekt |
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