| Autor |
Beitrag |
    
katrin (Blaurot)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 01. Juli, 2001 - 15:25: | 
|
Kann mir bitte jemand dringend an der folgenden Mtrix erklären wie ich die auf Jordan Normalform bringe?!
(25 34 18)
(-14 -19 -10)
(-4 -6 -1)
Danke |
Hans (Birdsong)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 05. Juli, 2001 - 15:19: |
|
Hallo :
Die Matrix heisse A. Das charakteristische Polynom von A lautet (rechne alles nach !)
p_A(t) = t^3-5t^2+7t-3 = (t-3)(t-1)^2.
Die Eigenwerte sind also 3 ,1,1. Ein Eigenvektor
zu 3 lautet (-7,4,1)^t. Zum Eigenwert 1 exstiert
nur ein linear unabhaengiger Eigenvektor, naemlich
bis auf einen Faktor k : (-5,3,1). Eine Jordan-Normalform lautet also
(lies zeilenweise):
J = ([3,0,0],[0,1,1],[0,0,1]).
Wir suchen eine Matrix T derart, dass
T^(-1) A T = J.
Als erste und zweite Spalte von T kennen wir
die oben bestimmten Eigenvektoren. Als dritte
Spalte nehmen wir irgendeinen davon
linear unabhaengigen Vektor, z.B. (1,-1,0)^t.
Wir machen also den Ansatz
T = ([-7,-5k,1],[4,3k,-1],[1,k,0]) ==>
T^(-1) = ([-1,-1,-2],[1/k,1/k,3/k],[-1,-2,1]) ==>
T^(-1) A T = ([3,0,0],[0,1,2/k],[0,0,1]).
Wir waehlen somit k = 2, d.h. die Matrix
T = ([-7,-10,1],[4,6,-1],[1,2,0])
leistet das Verlangte.
Gruss
Hans |
Lupo, Attention-Rufer
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 12. Juli, 2001 - 16:07: |
|
Hallo Hans, ich habe es nicht verstanden, wieso du gesagt hast:
...Jordan-Normalform lautet also
J = ([3,0,0],[0,1,1],[0,0,1]).
Außerdem verstehe ich nicht, warum es zu dem Eigenwert 1 nicht zwei Eigenvektoren gibt, aber das ist eine andere Frage. |
|
