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Martina
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 27. Juni, 2001 - 14:11: |
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Wie konstruiere ich ein regelmäßiges Zehneck mit Lineakante und Zirkel. Danke |
H.R.Moser,megamath.
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 27. Juni, 2001 - 16:24: |
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Hi Martina, Um Deine Fragen beantworten zu können , müssen wir etwas weiter ausholen. 1. Da das reguläre Fünfeck und Zehneck von Teilungen nach dem goldenen Schnitt wimmelt, ist es angebracht , Konstruktionen und Berechnungen dieser Teilung gründlich zu repetieren. Du findest im Board genug Stoff darüber. Hier nur soviel: Der Punkt T teilt die Strecke AB nach dem goldenen Schnitt, wenn gilt: TB : AT = AT : AB AT ist der grössere Abschnitt (Major), TB der kleinere (Minor) Sei AB = a , AT = x , also TB = a - x , so erhält man x aus der Gleichung: (a - x) : x = x : a , d h aus x ^ 2 + a * x - a ^ 2 = 0 Lösungen x = ½ * [ wurzel(5) + 1 ] * a = t * a für den Major. Für den Minor gilt dann a - x = ½ * [ wurzel(5) - 1 ] * a = s * a Es gelten die Beziehungen t - s = 1 , s * t = 1. 2. Als Vorstudie lese man die Artikel zum Satz des Eudoxos über die Beziehung zwischen den Seitenlängen eines regulären Fünfecks, Sechsecks und Zehnecks in einem festen Kreis. Die Ausführungen findest Du im Archiv unter dem Stichwort "Eudoxus" ; sie stammen vom 31.Juli / 1.August 2000. Fortsetzung folgt Mit freundlichen Grüssen H.R.Moser,megamath. |
H.R.Moser,megamath.
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 27. Juni, 2001 - 17:35: |
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Hi Martina, Fortsetzung in homöopathischen Dosen A] Die Diagonalen des regulären Fünfecks Skizziere von freier Hand ein regelmässiges Fünfeck mit Umkreis k , Mittelpunkt M , als Schaufigur. Die Ecken A,B,C D E folgen einander im Gegenuhrzeigersinn auf k. Zeichne die fünf Diagonalen ein, nämlich: AC , AD , BD, BF und CE. F sei der Schnittpunkt der Diagonalen AD und BF Nun betrachten wir die gleichschenkligen Dreiecke BFA und ACD. Der Winkel an den Spitzen B bezw. A ist je 36° als Peripheriewinkel über dem Bogen einer Fünfeckseite , zu welchem der Zentriwinkel 360°/5 = 72° gehört.. Die Dreiecke sind somit ähnlich mit (B,A) , (F,C), (A.D) als entsprechende Eckenpaare; mithin gilt die Proportion: AC : CD = AB : AF oder d5 : s5 = s5 : (d5 - s5)...........................................................(1) Wenn mit s5 die Seite und mit d5 die Diagonale im regelmässigen Fünfeck bezeichnet werden. Es gilt somit der bemerkenswerte Satz: Die Diagonale des Fünfecks wird durch die Fünfeckseite nach dem goldenen Schnitt geteilt Dabei ist die Fünfeckseite s5 der Major. B] Die Seite s10 des regulären Zehnecks. In der vorhergehenden Skizze fällen wir vom Mittelpunkt M des Umkreises k des regulären Zehnecks die Senkrechte auf die Seite CD des Fünfecks . Dieses Lot schneidet k im Punkt G , dem Mittelpunkt des Bogen von C nach D. Die Strecke CG ist eine Seite s10 des regulären Zehnecks mit k als Umkreis. Ziel: Berechnung von s10 aus dem Radius r des Umkreises k °°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°° Das Dreieck MCG ist ein gleichschenkliges Dreieck mit dem Winkel 36° bei der Spitze M (Zentriwinkel 360°/10 über dem genannten Bogen CG) . Die Dreiecke ACD und MCG sind ähnlich, daraus folgt: AC : CD = MC : CG oder d5 : s5 = r : s10. In Worten: Der Radius wird durch die Zehneckseite im gleichen Verhältnis geteilt wie die Fünfeckdiagonale durch die Fünfeckseite, d.h .nach dem goldenen Schnitt. Schluss: r : s10 = s10 : (r - s10) , das heisst: Die Seite des regelmässigen Zehnecks teilt den Radius des Umkreises nach dem goldenen Schnitt ; dabei ist die Zehneckseite der grössere Abschnitt. Rechnerisch: s10 = ½ * [ wurzel(5) - 1 ] * r. Damit lässt sich das regelmässige Zehneck bequem aus seinem Umkreis k konstruieren. Man braucht bloss einen Radius AM nach dem g.S. zu teilen und den grösseren Abschnitt mit dem Zirkel von A aus zehnmal abtragen. Mit freundlichen Grüssen H.R.Moser,megamath. |
Miriam (Mmemim)
| Veröffentlicht am Sonntag, den 01. Juli, 2001 - 20:02: |
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Hallo lieber megamath! Ich muß am Dienstag eine Matheklausur schreiben, und da wird vermutlich nach der Begründung gefragt, warum der Radius von der zehnecksseite nach dem Goldenen Schnitt geteilt wird. Reicht es einfach nur wenn ich schreibe auf grund von ähnlichen Dreiecken oder gibt es da noch einen besseren Beweis für? Gruß Miriam |
H.R.Moser,megamath.
| Veröffentlicht am Montag, den 02. Juli, 2001 - 10:36: |
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Hi Miriam , Meines Wissens gibt es keine einfachere Herleitungsmöglichkeit bei der Berechnung der Zehneckseite aus dem Umkreisradius. Merke Dir die ähnlichen Dreiecke ! Es sind gleichschenklige Dreiecke mit dem Winkel 36 ° an der Spitze und den Basiswinkeln von je 72° . Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath. |
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