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Christoph (Gregor_2)
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 21. Juni, 2001 - 22:06: |
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Die Funktion arctan x ist eine spezielle Stammfunktion von 1/(1+x²). Aus dieres Tatsache leite man die Potenzreihe von arctan x (um x0=0) her! |
H.R.Moser,megamath.
| Veröffentlicht am Freitag, den 22. Juni, 2001 - 07:21: |
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Hi Christoph, Für x absolut kleiner als eins entwickeln wir f(x)= 1 / (1 + x ^2 ) in eine geometrische Reihe ( Quotient q = - x ^2 ) und integrieren gliedweise; es entsteht auf legale Art: f(x) = 1 - x^2 + x^4 - x^6 + x^8 +.. F(x) = arc tan x + C = x - 1/3 * x ^ 3 +1/5 *x ^ 5 - 1/7* x ^ 7 +1/9 * x ^ 9 -...... °°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°° die Integrationskonstante ist null wegen der Normierung arc tan (0) = 0. Die Reihe konvergiert ausser für das angegebene x-Intervall auch noch für x = 1 und x = - 1 , wie eine nähere Untersuchung zeigt. Mit freundlichen Grüssen H.R.Moser,megamath. |
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