Autor |
Beitrag |
Oliver Gerber (Olivergerber)
| Veröffentlicht am Sonntag, den 10. Juni, 2001 - 13:23: |
|
Ich habe hier eine Aufgabe, mit der ich nicht so recht weiterkomme: Beweisen Sie, dass es Zahlen a,b element [0,1] gibt mit integral von 0 bis 1 über sin(pi*x)/(x^2+1)dx = 2/pi*(a^2+1) = pi/4*sin(pi*b). Ich hoffe, mir kann jemand weiterhelfen ... |
H.R.Moser,megamath.
| Veröffentlicht am Sonntag, den 10. Juni, 2001 - 15:16: |
|
Hi Oliver Wir lösen Deine Aufgabe souverän mit Hilfe des sogenannten erweiterten ersten Mittelwertsatzes der Integralrechnung, der da lautet: Wenn im Integral int [f(x) * g(x) * dx] , untere Grenze a, obere Grenze b der Faktor g ( x ) sein Vorzeichen nicht wechselt, so gilt: im Intervall [a,b] existiert mindestens eine Zahl c so, dass int [f(x) * g(x) * dx] = f ( c ) * int [ g(x) * dx ],Grenzen wie vorhin. 1) Wir wählen f(x) = 1 / ( 1 + x ^ 2 ) und erhalten für das angegebene Integral J : J = 1 / (1 + c^2) * int [sin (Pi*x) * dx ] = 1 / (1+ c^2) * 2 / Pi , wie behauptet. 2) Wir wählen f(x) = sin (Pi * x ) und erhalten für J : J = sin(Pi*c) * int [1 / (1+x^2) * dx ] = sin (Pi * c ) * arc tan 1 = = sin ( Pi * c ) * Pi / 4. Mit freundlichen Grüssen H.R.Moser,megamath,. |
|