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Anonym
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 16. März, 2000 - 20:33: |
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Lösen einer Gleichung in Abhängigkeit von a&b. Gauss`sche Elimination? Fallunterscheidung? Bitte mal anschauen. x - 2*y + 2*z = 3 -2*x + 4*y - 6*z = 2*a x + b*y + 3*z = -1 |
Ingo
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 16. März, 2000 - 23:48: |
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Nehmen wir mal die Gauß-Variante. (1) x-2y+2z=3 (2) -2x+4y-6z=2a (3) x+by+3z=-1 (1) x-2y+2z=3 (3)-(1) (b+2)y+z=-4 (2)+2*(1) -2z=2a+6 nun erkennst Du,daß das System für b¹-2 eindeutig lösbar ist.Die Lösung lautet dann z=3-a ; y=(-4-z):(b+2)=(a-7):(b+2) ; x=3+2y-2z=... Für b=-2 muß 2a+6=8,also a=1 erfüllt sein.Dann gibt es unendlich viele Lösungen.(Welche?) Ist b=-2 und a¹1,dann gibt es keine Lösung. |
H.R.Moser,megamath.
| Veröffentlicht am Freitag, den 17. März, 2000 - 15:18: |
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Hi Anonimus, Zur Lösung von Ingo ist eine kleine Korrektur anzubringen: Für einen von -2 verschiedenen b -Wert lautet die allgemeine Lösung (wie sich auch aus der Herleitung ergibt) : z = - 3 - a , y = ( a - 1 ) / ( b + 2 ) , x wie angegeben. Der eingeschlagene Lösungsweg mit der Gauss-Elimination ist durchaus angebracht. Sofern Du die Determinanten kennst , kannst Du es auch mit der Cramerschen Regel versuchen: Die Determinante D der Koeffizientenmatrix auf der linken Seite des Systems ergibt : D = 2 * ( 2 + b ) In einem ersten Fall setzt man b verschieden von - 2 voraus, damit ist gleichbedeutend, dass die Determinante D des Gleichungssysteems von null verschieden ist ; das System hat genau ein Lösungstripel , welches mit der Cramerschen Regel wie folgt ermittelt wird In der Determinante des Systems wird die i-te Spalte durch die zu- gehörigen Formvariablen der rechten Seite ersetzt ( i = 1, 2, 3 ) . Man erhält der Reihe nach die Determinanten Dx, Dy, Dz mit den folgenden Werten : Dx = 2 * (16 + 6a + 9b + 2ab ) , Dy = 2 * ( a - 1 ), Dz = - 2 * ( 6 + 2a + 3b + ab) = - 2 (2 + b ) ( 3 +a ) ; daraus die Lösungen : x = Dx / D = (16 + 6a + 9b + 2ab) / ( 2 + b ) y = Dy / D = ( a - 1 ) / ( 2 + b ) z = Dz / D = - 3 - a 2.Fall : b = - 2 Wir setzen diesen Wert in die dritte Gleichung ein und sehen sofort, wenn a von 1 verschieden ist ,dass die zweite und dritte Gleichung sich widersprechen ; Folgerung: in diesem Unterfall hat das System keine Lösung. Ist aber a = 1 , so ergeben sich unendlich viele Lösungen, da die zweite und dritte Gleichung identisch sind. Diese unendlich vielen Lösungen lassen sich mit Hilfe eine reellen Parameters wie folgt darstellen: Wir wählen etwa y = t und bekommen : x = 11 + 2y = 11 + 2t y = t (wie postuliert) und z = - 4 . Hoffentlich ist alles klar ! Mit freundlichen Grüssen H.R. |
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