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Matthias
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 14. Dezember, 2005 - 12:05: | 
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Hallo, vielleicht kann mir jemand weiterhelfen.
Ich habe die Funktion gegeben:
x -> exp(x) mit x€R.
Nun ist die Frage, ob exp(x)=e^x mit e>2 (e~2,7183) gerade bzw. ungerade ist.
Und ich soll bestimmen, ob sie monoton ist. Als Tipp ist mir noch gegeben, dass ich von e^x ungleich 1 für x ungleich 0 ausgehen darf.
Aber das hilft mir auch nicht wirklich weiter.
Ich kann die Fragen evtl. rauskriegen durch Ausprobieren (Zeichnen), aber wie belege ich das mathematisch? Bin für jeden Lösungsansatz dankbar.
Gruß Matthias |
Christian_s (Christian_s)
Senior Mitglied
Benutzername: Christian_s
Nummer des Beitrags: 2011
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 14. Dezember, 2005 - 13:02: |
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Hallo Matthias
e^x ist weder gerade noch ungerade:
Angenommen e^x=e^(-x)
=> e^(x+x)=e^(-x+x)=e^0=1
Nach deinem Tipp folgt nun x=0. Die Beziehung müsste aber für alle x gelten, damit die Funktion gerade ist.
Ungerade ist sie nicht, weil z.B.
1=e^0¹-e^(-0)=-1
Dass die e-Funktion monoton wachsend ist folgt sofort aus der Reihenentwicklung.
MfG
Christian |
Matthias
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Freitag, den 16. Dezember, 2005 - 14:04: |
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Hi Christian,
dankeschön! Wie kommst du von der Zeile e^x=e^(-x) auf die Zeile dahinter? Also wieso setzt du x+x ein und wieso hast du das Minus bei der rechten Seite der Gleichung nur vor dem ersten x? Wenn ich -(x+x) schreibe, hätte ich doch da dann -x-x, oder nicht?
Und was verstehe ich unter einer Reihenentwicklung?
Vielen, vielen Dank schon mal!
Matthias |
Christian_s (Christian_s)
Senior Mitglied
Benutzername: Christian_s
Nummer des Beitrags: 2017
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 16. Dezember, 2005 - 14:15: |
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Hallo Matthias
Wie kommst du von der Zeile e^x=e^(-x) auf die Zeile dahinter?
Ich habe beide Seiten mit e^x multipliziert und dann die Regel e^a*e^b=e^(a+b) benutzt.
Und was verstehe ich unter einer Reihenentwicklung?
Es ist e^x=S¥ k=0 x^k/k!.
Wenn du das nicht benutzen darfst müsste ich wissen was du über die e-Funktion weißt, d.h. was ich alles in einem Beweis verwenden darf.
MfG
Christian |
Matthias
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Freitag, den 16. Dezember, 2005 - 18:37: |
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Noch mal Christian,
als allererstes noch mal Danke, Danke, Danke, du bist echt meine Rettung!
Zur Monotonie: Dass e gleich der Summe ist, die du oben aufgeschrieben hast, habe ich jetzt zwar auch im Buch gefunden, meines Wissens nach hatten wir das aber noch nicht in der Vorlesung. Wenn ich das Ganze richtig verstehe, geht es in diesem Zusammenhang eher um die Monotonie als solche, also wie man Monotonie nachweisen kann. Und dazu haben wir bisher nur aufgeschrieben, dass eine Folge (allerdings eine Folge und keine Funktion und der Zusammenhang zwischen diesen beiden Begriffen ist mir sowieso noch nicht so ganz eindeutig klar) dann monoton wachsend ist, wenn a(n) £ a(n+1) für alle n€N. Und das analog eben für fallend. Ich weiß aber nicht, ob dir das jetzt weiterhilft :-(. In jedem Fall schon mal vielen Dank!
Matthias |
Christian_s (Christian_s)
Senior Mitglied
Benutzername: Christian_s
Nummer des Beitrags: 2021
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 16. Dezember, 2005 - 19:12: |
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Hallo Matthias
Erstmal zum Unterschied zwischen Funktion und Folge:
Allgemein ist eine Funktion f eine Vorschrift, die jedem Element aus einer Menge X genau ein Element aus der Menge Y zuordnet.
Hört sich jetzt schwieriger an als es ist.
Bei Funktionen hat man häufig den Fall(bei dir oben auch), dass X=Y=IR gilt.
Du ordnest also jeder reellen Zahl(jedem Element aus X) genau ein Element aus IR(aus Y) zu. Genauer wird der reellen Zahl x die reelle Zahl e^x zugeordnet.
Eine Folge ist jetzt nichts weiter als eine ganz spezielle Funktion. Hier ist einfach X=IN die Menge der natürlichen Zahlen. Du ordnest jeder natürlichen Zahl n das Folgenglied an zu, wobei Y eine beliebige Menge sein kann. Häufig Y die Menge der reellen Zahlen.
Allgemein bedeutet Monotonie nun, dass aus x³y folgt: f(x)³f(y)
Also oben das bezieht sich auf monoton wachsend! Fallend geht genauso. (Es ist klar, dass man sowas nicht auf beliebigen Mengen X,Y definieren kann, weil man unter Umständen gar keine "£"-Relation hat.
Im Fall der Folgen heißt das, dass aus
n³m folgt: am³an, was offenbar äquivalent ist zu
Für alle n € IN gilt an+1³an.
Wie oben schon gesagt muss man bei dir im Beispiel nun nachweisen, dass gilt:
x > y => f(x) > f(y)
mit f(x)=e^x.
Um das zu zeigen musst du nun wissen, was überhaupt alles für die e-Funktion gilt. Also du bräuchtest normalerweise überhaupt erstmal eine Definition der e-Funktion und die läuft in der Regel über die oben genannte Reihe.
MfG
Christian |
Matthias
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Freitag, den 16. Dezember, 2005 - 22:03: |
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Noch mal hallo,
erst mal dankeschön für deine ausführliche Erklärung. Ich glaube, es ist mir ein bisschen klarer geworden. Ich habe jetzt auch genau das gefunden, was ich meinte in Bezug auf die Monotonie von Funktionen, was du aber ja selbst schon geschrieben hast.
"x,y€D(f): x£y Þ f(x)£f(y) Das wäre die Definition für wachsend.
Ich bin mir aber ziemlich sicher, dass wir die Reihe für die e-Funktion noch nicht eingeführt haben, bzw. sie nicht definiert haben. Im Rahmen der komplexen Zahlen haben wir e schon benutzt, aber dabei auch nie definiert.
Trotzdem tausend Dank! |
Sotux (Sotux)
Senior Mitglied
Benutzername: Sotux
Nummer des Beitrags: 708
Registriert: 04-2003
| | Veröffentlicht am Samstag, den 17. Dezember, 2005 - 22:17: |
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Hi,
zeig die Monotonie doch mit den Rechenregeln fÜr Potenzen: e^y/e^x=e^(y-x) und dann ausnutzen, dass e^x nur bei 0 1 sein darf. Daraus folgt wegen der Stetigkeit zunaechst, dass e^x rechts von 0 >1 und links davon <1 ist und daraus dann die Monotonie.
sotux |
Matthias
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 18. Dezember, 2005 - 08:50: |
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Hey sotux,
danke! Den Begriff der Stetigkeit haben wir auch noch nicht eingeführt (der dürfte als nächstes kommen), aber so langsam frage ich mich wirklich, was sie bei dieser Aufgabe sehen wollen, wenn nicht mal ihr das zeigen könnt mit den Dingen, die ich bis jetzt hatte. Ich denke, ich werde jetzt einfach mal beide Möglichkeiten hinschreiben. Danke noch mal! |
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