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Arzoo (Arzoo)
Mitglied
Benutzername: Arzoo
Nummer des Beitrags: 21
Registriert: 11-2003
| | Veröffentlicht am Montag, den 05. Juli, 2004 - 18:01: | 
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Wie kann man zeigen , dass die Umkehrfunktion einer stetigen, monoton wachsenden Funktion wiederum stetig und monoton wachsend ist? |
Orion (Orion)
Senior Mitglied
Benutzername: Orion
Nummer des Beitrags: 897
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 06. Juli, 2004 - 16:53: |
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Arzoo,
Seien I und J reelle Intervalle und f : I ® J stetig und monoton wachsend, g := f-1 sei die Umkehrfunktion von f.
a) g ist monoton wachsend.
Sei y1 < y2, yi = f(xi) , i=1,2.
Annahme: g(y1) >= g(y2). Wende hierauf f an.
Wegen der Monotonie von f folgt y1 >= y2 :
Widerspruch !
Schwieriger ist
b) g ist stetig.
Sei h = f(x) € J , (yn) eine Folge
in J mit yn = f(xn) und lim yn = h. Zu zeigen :
lim g(yn) = g(h) , d.h.: lim xn = x.
Sei nun e > 0 gegeben. Setze
f(x-e) =: a, f(x+e) =: b
Wegen der Monotonie von f gilt
a < h < b
sowie wegen lim yn = h
a < yn < b für fast alle n.
Wenden wir hierauf g an (beachte Teil a)), so folgt
x - e < xn < x + e
für fast alle n, d.h.: lim xn = x, Q.E.D.
mfG Orion
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