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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1792
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 16. Oktober, 2005 - 21:14: | 
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Hi,
ich beschägftige mich seit kurzem mit Algebra..
wo das Semester jetzt anfängt, aber bei dieser Aufgabe habe ich mal eine Frage, mehr technisch!
Sei A:={ X € Mat(2,2,Z) | AAt=1 }
die Menge aller ganzzahligen orthogonalen 2 x 2 Matrizen
a) Ordnung von A: müssten 8 sein
b) Es gibt genau eine zyklische Untergruppe B
der Ordnung 4 : hab ich gefunden
c) Für alle b aus B und a aus A \ B gilt:
ab=b-1a
Jetzt meine Frage muss ich das für alle möglichen Kombination für Matrizen aus B und A\B berechnen, oder gibt es da einen Trick, eine Eigenschaft dieser Matrizen die ich übersehen habe, sodass man dies in einem Rutsch für alle Matrizen zeigen kann?
Falls nicht, dann muss wohl stupides rechnen helfen. Bin für jeden Tipp dankbar!
mfg |
Orion (Orion)
Senior Mitglied
Benutzername: Orion
Nummer des Beitrags: 1070
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Montag, den 17. Oktober, 2005 - 08:03: |
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Ferdi,
ist es nicht so, dass
AAt = E <=> A = ([s , -t] , [t , s] ) & s2+t2 = 1 ?
mfG Orion
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1793
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 17. Oktober, 2005 - 16:20: |
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Hi Orion,
ich bin anders vorgegangen!
Sei A=([a,b],[c,d])
Dann folgt aus AAt=E, das:
I) a^2+b^2=1
II) c^2+d^2=1
III) ac+bd=0
Wegen A € Mat(2,2,Z) folgt aus I)
a) b=0 und a=±1, dann muss aber wegen III) c=0 sein und damit d=±1
oder
b) a=0 und b=±1 , daraus dann aus III)
d=0 und somit c=±1
Damit habe ich ja die 8 gesuchten Matrizen,
ich glaube in deiner Drastellung fehlen dir da welche,
z.B. A=([0,1],[1,0])
Die Matrix A=([0,-1],[1,0]) erzeugt dann die zyklische Untergruppe der Ordnung 4.
Mir gehts nur darum, wie oder ob man die letzte Eigenschaft allgemein beweisen kann, oder ob ich halt mit allen Kombinationen durchrechnen muss. Sind zwar nur 0 und ±1 in den Matrizen, aber das wäre allgemein wohl eleganter!
mfg |
Orion (Orion)
Senior Mitglied
Benutzername: Orion
Nummer des Beitrags: 1071
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Montag, den 17. Oktober, 2005 - 17:18: |
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Ferdi,
Ja, ich habe die A mit det(A) = -1 übersehen, also
A = ( [s,t] , [t,-s] ) & s2+t2 = 1
mfG Orion
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