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Seelenträne (Seelenträne)
Neues Mitglied
Benutzername: Seelenträne
Nummer des Beitrags: 1
Registriert: 11-2004
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 14. November, 2004 - 11:17: | 
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Ohje, ich weiß echt nicht wie ich diese Aufgaben lösen kann, ich hoffe mir kann hier jemand helfen. Schon mal danke im vorraus.
1.
Seien n >, k > 0 beliebige natürliche Zahlen. Beweise, dass eine der n Zahlen k, k+1,.., k+(n-1) durch n teilbar ist.
2.
Seien n > eine natürliche Zahl und a1,...,an (1 und n nach unten geschrieben) verschiedene natürliche Zahlen. Beweise dass entweder eine der Zahlen a1,...,an (auch wieder 1 und n tiefer gesetzt) durch n teilbar ist oder dass Zahlen as<at (s und t tiefer gesetzt) Element {a1, ..., an} exestieren, so dass at-as durch n teilbar ist. (auch hier wieder t und s tiefer gestzt) |
Christian_s (Christian_s)
Senior Mitglied
Benutzername: Christian_s
Nummer des Beitrags: 1629
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 14. November, 2004 - 12:15: |
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Hallo
1) würde ich mit Induktion nach k beweisen.
Induktionsanfang: k=0.
Dann hat man die n Zahlen 0,1,...,n-1 und dabei ist 0 durch n teilbar.
Induktionsvoraussetzung: Eine der Zahlen k, k+1, ..., k+(n-1) ist durch n teilbar für ein k aus IN.
Induktionsschluss. Hier müssen wir nun die Zahlen
k+1,k+2,...,k+n betrachten.
Nach I.V. existiert in k, k+1,...,k+(n-1) eine durch n teilbare Zahl.
Fall 1) k ist durch n teilbar. Dann ist auch k+n durch n teilbar und wir haben eine passende Zahl gefunden.
Fall 2) k ist nicht durch n teilbar. Dann muss nach Voraussetzung einer der Zahlen k+1,...,k+(n-1) durch n teilbar sein. Die Zahlen liegen aber auch alle in k+1,...,k+n.
Damit ist die Aussage bewiesen.
MfG
Christian |
Christian_s (Christian_s)
Senior Mitglied
Benutzername: Christian_s
Nummer des Beitrags: 1630
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 14. November, 2004 - 12:28: |
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Hallo
Zu 2. Ist keine der Zahlen a1,...,an durch n teilbar, so hinterlassen sie bei Division durch n einen Rest. Dieser Rest kann nur die Werte 1,2,...,n-1 annehmen. D.h. es existieren zwei Zahlen, die den gleichen Rest hinterlassen. Die Differenz der beiden Zahlen ist damit durch n teilbar.
MfG
Christian |
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