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Primzahlen

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Zeraphine (Zeraphine)
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Neues Mitglied
Benutzername: Zeraphine

Nummer des Beitrags: 3
Registriert: 10-2004
Veröffentlicht am Sonntag, den 14. November, 2004 - 11:04:   Beitrag drucken

Mal wieder eine Aufgabe wo ich nicht so recht weiter weiß...

(a) Bestimmen Sie alle Primzahlen p, für welche 4p+1 eine Quadratzahl ist.

(b) Bestimmen Sie alle Primzahlen p, für welche 2p+1 eine Kubigzahl ist.


Wenn ich es nur einsetzen würde, dann würd ich mir ja nen Wolf rechnen oder ?! Es gibt ja nicht nur 10 Primzahlen.... *hilflosguck
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Christian_s (Christian_s)
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Senior Mitglied
Benutzername: Christian_s

Nummer des Beitrags: 1628
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Sonntag, den 14. November, 2004 - 12:04:   Beitrag drucken

Hallo Zeraphine

Wenn ich es nur einsetzen würde, dann würd ich mir ja nen Wolf rechnen oder ?!

Ja, das wird schwierig bei unendlich vielen Primzahlen :-)

(a) Offenbar ist 4p+1 für p=2 eine Quadratzahl.
Das ist auch die einzige Lösung!
Angenommen 4p+1 wäre eine Quadratzahl. 4p+1 ist ungerade, also kann 4p+1 nur das Quadrat einer ungeraden Zahl sein. Sei diese ungerade Zahl 2n+1 mit n aus IN. Dann folgt
4p+1=(2n+1)2
=>4p+1=4n2+4n+1
=>p=n(n+1)
Jede Primzahl p>2 ist ungerade. Und die rechte Seite ist gerade für alle natürlichen Zahlen n. Also hat die Gleichung für p>2 keine Lösung.

(b) 2p+1 ist immer ungerade. Also kann es wieder nur eine ungerade Zahl 2n+1 geben, sodass
2p+1=(2n+1)3 gilt.
Es folgt 2p+1=8n3+12n2+6n+1
=> p=4n3+6n2+3n=n(4n2+6n+3)
Wir wissen, dass p eine Primzahl ist. D.h. es muss n=1 gelten, sonst wäre p eine zusammengesetzte Zahl. Im Fall n=1 ergibt sich p=13 und das ist tatsächlich eine Lösung der Gleichung, denn
2p+1=2*13+1=27=33.

MfG
Christian

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