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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4044
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 21. Mai, 2004 - 15:52: | 
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Hi allerseits
Aufgabe LF 377.
Gegeben f(n) = 96 / {(4n-1)(4n-3)(6n-1)}
Daraus entsteht die unendliche Reihe
sum [ f(n) ] ; Summationsindex n:
ganze Zahl von minus unendlich bis plus unendlich.
Man berechne den exakten Wert dieser konvergenten Reihe.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4047
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 22. Mai, 2004 - 09:38: |
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Hi allerseits
Hinweis zu Aufgabe LF 377:
Man löse die allgemeinere Aufgabe mit
f(n) = 1/((k-a)(k-b)(k-c) oder direkt das gegebene numerische Beispiel.
Jedenfalls: man zerlege f in Partialbrüche.
Sodann benütze man die Cotangens-Partialbruch –Entwicklung
mit j als Summationsindex
(ganze Zahl j von minus unendlich bis plus unendlich),
welche lautet:
sum [ 1 / (x+j) ] = Pi * cot (Pi x).
Viel Vergnügen und ein entsprechendes Erfolgserlebnis!
Mit freundlichen Grüßen
H.R.moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1365
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 22. Mai, 2004 - 11:01: |
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Hi megamath,
ich hätte dann:
sum[ f(n) ][n=-inf..inf] = 48/7*PI * { 4 - 3*sqrt(3) }
Die Partialbruchzerlegung:
A/(4n-1) + B/(4n-3) + C/(6n-1)
führt auf: A=-1 , B=1/7 , C=9/7
So dass man schliesslich:
96/7*sum [ 1/(4n-3) + 9/(6n-1) - 7/(4n-1) ] [n=-inf..inf]
Z.B: 9/(6n-1)
9/(6n-1) = (9/6)/(n-(1/6))
9/6 * sum[1/(n-(1/6))] [n=-inf..inf]
9/6 * pi * cot(-pi/6)
Es gilt tan(-pi/6) = -1/sqrt(3) ==>
9/6*sum[1/(n-(1/6))] [n=-inf..inf] => (3/2)*sqrt(3)*PI
mfg |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4048
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 22. Mai, 2004 - 14:41: |
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Hi Ferdi
Das ist gut so und führt auf das Endresultat R:
R:=144/7 * Pi *sqrt(3) - 192/7 * Pi ~25,768
Die Faktorzerlegung lautet in meinem Ansatz
1/((k-a)(k-b)(k-c)) = A / (k-a) + B / (k-b) + C / (k-c)
Ergebnis :
A = 24/7, B = - 24 , C = 144 / 7.
allgemeine Lösung (Summation über alle ganzen Zahlen):
sum [1/(k-a)(k-b)(k-c)] =
Pi * cot(Pi * a) / {(b-a)(a-c)} + Pi * cot(Pi * b) / {(c-b)(b-a)}
+ Pi * cot(Pi * c) / {(a-c)(c-b)},
gültig für paarweise verschiedene a, b, c aus R ohne Z.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1366
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 22. Mai, 2004 - 17:58: |
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Hi megamath,
wie kommst du auf dein Ergebniss, ich finde mein Fehler nicht , denn meine Lösung ist ja:
R = 192/7*PI - 144/7*PI*sqrt(3)
R ~ -25,76793
Mein Ansatz mit der Partialbruchzerlegung führt auf das Gleichungsystem:
A/(4n-3) + B/(6n-1) + C/(4n-1)
3A+2B+3C=0 ; 5A+8B+11C=0 ; A+3B+3C=1
mit A=1/7 , B=9/7 , C=-1
Also:
96/7 * sum[ 1/(4n-3) + 9/(6n-1) - 7/(4n-1) ] [n=-inf..inf]
96/7*PI * [ 1/4*cot(-3/4*PI) + 9/6*cot(-PI/6) - 7/4*cot(-pi/4)]
96/7*PI * [ 1/4 - 3/2*sqrt(3) + 7/4]
R = 192/7*PI - 144/7*PI*sqrt(3)
Beides kann ja nicht stimmen...
mfg |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4051
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 22. Mai, 2004 - 18:16: |
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Hi Ferdi
Die Fehlersuche muss ich auf morgen verschieben!
MfG
H.R.Moser,megamath |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4052
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 23. Mai, 2004 - 07:40: |
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Hi Ferdi
Die Suche nach Fehlern bei meiner Berechnung verlief
trotz gutem Willen meinerseits resultatlos.
Mein Schlussergebnis ist nach wie vor:
R:=144/7 * Pi *sqrt(3) - 192/7 * Pi ~ 25,768
Berechnet habe ich R auf zwei Arten:
1.Gangart:
R1 = Pi * cot (Pi * a) / {(b-a)(a-c)} + Pi * cot(Pi * b) / {(c-b)(b-a)}
+ Pi * cot(Pi * c) / {(a-c)(c-b)}
mit a= ¼ , b = ¾ , c = 5/6.
Die Kotangenswerte sind klar, inklusive Vorzeichen.
2.Gangart:
Zerlegung von f(k) in Partialbrüche
Ansatz
f(k) = 1/((k-a)(k-b)(k-c) = A / (k-a) + B / (k-b) + C / (k-c)
Der Koeffizientenvergleich liefert das Gleichungssystem:
A + B + C = 0
19 A + 13 B + 12 C = 0
30 A + 10 B + 9 C = 48
Lösungen: A = 24/7, B = - 24 , C = 144 / 7.
Diese Werte dürfen nicht mit a,b,c verwechselt werden!
Die Brüche schreiben wir so
- 24/7 über (¼ – k)
24 über (¾ - k)
- 144/7 über (5/6 - k)
Nun können die Summen [- infinity, infinity] gebildet werden ;
es entsteht zwanglos R2 = R:
R2 = - 24/7 Pi ctg (Pi/4) + 24 Pi ctg (3Pi/4) - 144/7 Pi ctg (5Pi/6)
MfG
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4054
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 24. Mai, 2004 - 06:32: |
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Hi Ferdi
Auch Miss Marple hat den Fall untersucht!
Protokoll:
Eingaben:
a:=1/4;b:=3/4,c:=5/6;
f:=1/((k-a)*(k-b)*(k-c));
S:=sum(f,k=-infinity..infinity);
T:= Pi * cot (Pi * a) / ((b-a)(a-c)) + Pi * cot(Pi * b) / ((c-b)(b-a))
+ Pi * cot(Pi * c) / ((a-c)(c-b));
Ausgaben:
S:= -192/7 *Pi +144/7*Pi*sqrt(3)
evalf(S);
25.76793369
T:= -192/7 *Pi +144/7*Pi*sqrt(3)
MfG
H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1368
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 24. Mai, 2004 - 19:07: |
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Hi megamath,
ich habe den Fehler entdeckt! Es scheint keinen Fehler zu geben! Ich habe genau wie Miss Marple in ihren Filmen früher ermittelt:
Ich berechne die Reihe:
sum[96/{(4n-1)*(4n-3)*(6n-1)}] [n=-inf..inf]
mit dem Resultat:
R = 192/7*PI - 144/7*PI*sqrt(3)
Du berechnest:
sum[96/{(4n-1)*(4n-3)*(6n-5)}] [n=-inf..inf]
mit dem Resultat:
R* = 144/7*PI*sqrt(3) - 192/7*PI
Zu dieser Lösung des Falles kam ich, als ich deine Rechnung nachvollzogen hatte! Man sieht den kleinen aber feinen Unterschied im Bruch, der die Vorzeichen in unseren Lösungen springen lässt!
Es handelt sich also um ein Missverständniss! Du hattest ja nach der ersten Reihe gefragt. Kann es sein, das du in deinen Notizen was vertauscht hast?
mfg |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4056
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 24. Mai, 2004 - 20:29: |
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Hi Ferdi
Salomonisches Urteil:
es haben Beide Recht, und die Kirche bleibt im Dorf!
In meinen Notizen steht tatsächlich die Aufgabe:
Gegeben f(n) = 96 / {(4n-1)(4n-3)(6n-5)}
und dazu gehört auch die von mir und Miss Marple berechnete Lösung.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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