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Lockere Folge 377 : Reihen 17

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Megamath (Megamath)
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Senior Mitglied
Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 4044
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 21. Mai, 2004 - 15:52:   Beitrag drucken

Hi allerseits

Aufgabe LF 377.

Gegeben f(n) = 96 / {(4n-1)(4n-3)(6n-1)}
Daraus entsteht die unendliche Reihe
sum [ f(n) ] ; Summationsindex n:
ganze Zahl von minus unendlich bis plus unendlich.
Man berechne den exakten Wert dieser konvergenten Reihe.

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 4047
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Samstag, den 22. Mai, 2004 - 09:38:   Beitrag drucken

Hi allerseits

Hinweis zu Aufgabe LF 377:
Man löse die allgemeinere Aufgabe mit
f(n) = 1/((k-a)(k-b)(k-c) oder direkt das gegebene numerische Beispiel.
Jedenfalls: man zerlege f in Partialbrüche.
Sodann benütze man die Cotangens-Partialbruch –Entwicklung
mit j als Summationsindex
(ganze Zahl j von minus unendlich bis plus unendlich),
welche lautet:
sum [ 1 / (x+j) ] = Pi * cot (Pi x).

Viel Vergnügen und ein entsprechendes Erfolgserlebnis!

Mit freundlichen Grüßen
H.R.moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
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Benutzername: Tl198

Nummer des Beitrags: 1365
Registriert: 10-2002
Veröffentlicht am Samstag, den 22. Mai, 2004 - 11:01:   Beitrag drucken

Hi megamath,

ich hätte dann:

sum[ f(n) ][n=-inf..inf] = 48/7*PI * { 4 - 3*sqrt(3) }

Die Partialbruchzerlegung:

A/(4n-1) + B/(4n-3) + C/(6n-1)

führt auf: A=-1 , B=1/7 , C=9/7

So dass man schliesslich:

96/7*sum [ 1/(4n-3) + 9/(6n-1) - 7/(4n-1) ] [n=-inf..inf]

Z.B: 9/(6n-1)

9/(6n-1) = (9/6)/(n-(1/6))
9/6 * sum[1/(n-(1/6))] [n=-inf..inf]
9/6 * pi * cot(-pi/6)

Es gilt tan(-pi/6) = -1/sqrt(3) ==>

9/6*sum[1/(n-(1/6))] [n=-inf..inf] => (3/2)*sqrt(3)*PI

mfg
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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 4048
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Samstag, den 22. Mai, 2004 - 14:41:   Beitrag drucken

Hi Ferdi

Das ist gut so und führt auf das Endresultat R:

R:=144/7 * Pi *sqrt(3) - 192/7 * Pi ~25,768
Die Faktorzerlegung lautet in meinem Ansatz
1/((k-a)(k-b)(k-c)) = A / (k-a) + B / (k-b) + C / (k-c)
Ergebnis :
A = 24/7, B = - 24 , C = 144 / 7.

allgemeine Lösung (Summation über alle ganzen Zahlen):

sum [1/(k-a)(k-b)(k-c)] =
Pi * cot(Pi * a) / {(b-a)(a-c)} + Pi * cot(Pi * b) / {(c-b)(b-a)}
+ Pi * cot(Pi * c) / {(a-c)(c-b)},

gültig für paarweise verschiedene a, b, c aus R ohne Z.

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
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Benutzername: Tl198

Nummer des Beitrags: 1366
Registriert: 10-2002
Veröffentlicht am Samstag, den 22. Mai, 2004 - 17:58:   Beitrag drucken

Hi megamath,

wie kommst du auf dein Ergebniss, ich finde mein Fehler nicht , denn meine Lösung ist ja:

R = 192/7*PI - 144/7*PI*sqrt(3)
R ~ -25,76793

Mein Ansatz mit der Partialbruchzerlegung führt auf das Gleichungsystem:

A/(4n-3) + B/(6n-1) + C/(4n-1)

3A+2B+3C=0 ; 5A+8B+11C=0 ; A+3B+3C=1
mit A=1/7 , B=9/7 , C=-1

Also:
96/7 * sum[ 1/(4n-3) + 9/(6n-1) - 7/(4n-1) ] [n=-inf..inf]

96/7*PI * [ 1/4*cot(-3/4*PI) + 9/6*cot(-PI/6) - 7/4*cot(-pi/4)]
96/7*PI * [ 1/4 - 3/2*sqrt(3) + 7/4]

R = 192/7*PI - 144/7*PI*sqrt(3)

Beides kann ja nicht stimmen...

mfg
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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 4051
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Samstag, den 22. Mai, 2004 - 18:16:   Beitrag drucken

Hi Ferdi

Die Fehlersuche muss ich auf morgen verschieben!

MfG
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 4052
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Sonntag, den 23. Mai, 2004 - 07:40:   Beitrag drucken

Hi Ferdi

Die Suche nach Fehlern bei meiner Berechnung verlief
trotz gutem Willen meinerseits resultatlos.
Mein Schlussergebnis ist nach wie vor:

R:=144/7 * Pi *sqrt(3) - 192/7 * Pi ~ 25,768


Berechnet habe ich R auf zwei Arten:

1.Gangart:
R1 = Pi * cot (Pi * a) / {(b-a)(a-c)} + Pi * cot(Pi * b) / {(c-b)(b-a)}
+ Pi * cot(Pi * c) / {(a-c)(c-b)}
mit a= ¼ , b = ¾ , c = 5/6.
Die Kotangenswerte sind klar, inklusive Vorzeichen.

2.Gangart:
Zerlegung von f(k) in Partialbrüche
Ansatz
f(k) = 1/((k-a)(k-b)(k-c) = A / (k-a) + B / (k-b) + C / (k-c)
Der Koeffizientenvergleich liefert das Gleichungssystem:
A + B + C = 0
19 A + 13 B + 12 C = 0
30 A + 10 B + 9 C = 48

Lösungen: A = 24/7, B = - 24 , C = 144 / 7.

Diese Werte dürfen nicht mit a,b,c verwechselt werden!

Die Brüche schreiben wir so
- 24/7 über (¼ – k)
24 über (¾ - k)
- 144/7 über (5/6 - k)

Nun können die Summen [- infinity, infinity] gebildet werden ;
es entsteht zwanglos R2 = R:
R2 = - 24/7 Pi ctg (Pi/4) + 24 Pi ctg (3Pi/4) - 144/7 Pi ctg (5Pi/6)

MfG
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 4054
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Montag, den 24. Mai, 2004 - 06:32:   Beitrag drucken

Hi Ferdi

Auch Miss Marple hat den Fall untersucht!

Protokoll:

Eingaben:
a:=1/4;b:=3/4,c:=5/6;
f:=1/((k-a)*(k-b)*(k-c));
S:=sum(f,k=-infinity..infinity);
T:= Pi * cot (Pi * a) / ((b-a)(a-c)) + Pi * cot(Pi * b) / ((c-b)(b-a))
+ Pi * cot(Pi * c) / ((a-c)(c-b));

Ausgaben:
S:= -192/7 *Pi +144/7*Pi*sqrt(3)
evalf(S);
25.76793369
T:= -192/7 *Pi +144/7*Pi*sqrt(3)

MfG
H.R.Moser,megamath

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Tl198 (Tl198)
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Benutzername: Tl198

Nummer des Beitrags: 1368
Registriert: 10-2002
Veröffentlicht am Montag, den 24. Mai, 2004 - 19:07:   Beitrag drucken

Hi megamath,

ich habe den Fehler entdeckt! Es scheint keinen Fehler zu geben! Ich habe genau wie Miss Marple in ihren Filmen früher ermittelt:

Ich berechne die Reihe:

sum[96/{(4n-1)*(4n-3)*(6n-1)}] [n=-inf..inf]

mit dem Resultat:

R = 192/7*PI - 144/7*PI*sqrt(3)

Du berechnest:

sum[96/{(4n-1)*(4n-3)*(6n-5)}] [n=-inf..inf]

mit dem Resultat:

R* = 144/7*PI*sqrt(3) - 192/7*PI

Zu dieser Lösung des Falles kam ich, als ich deine Rechnung nachvollzogen hatte! Man sieht den kleinen aber feinen Unterschied im Bruch, der die Vorzeichen in unseren Lösungen springen lässt!

Es handelt sich also um ein Missverständniss! Du hattest ja nach der ersten Reihe gefragt. Kann es sein, das du in deinen Notizen was vertauscht hast?

mfg
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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 4056
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Montag, den 24. Mai, 2004 - 20:29:   Beitrag drucken

Hi Ferdi

Salomonisches Urteil:
es haben Beide Recht, und die Kirche bleibt im Dorf!
In meinen Notizen steht tatsächlich die Aufgabe:
Gegeben f(n) = 96 / {(4n-1)(4n-3)(6n-5)}
und dazu gehört auch die von mir und Miss Marple berechnete Lösung.

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath

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