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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3792 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Sonntag, den 04. April, 2004 - 09:06: |
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Hi allerseits Es folgt die Aufgabe LF 295. Wiederum ist eine Rekursionsformel herzuleiten, eine Formel zur Berechnung des (unbestimmten) Integrals int [(tan x)^ n dx] Viel Erfolg! Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1246 Registriert: 10-2002
| Veröffentlicht am Sonntag, den 04. April, 2004 - 22:21: |
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Hi megamath, ein harter Brocken: Ich habs so versucht: sei tan(x) = u ==> dx = du/(1+u^2) int[u^n/(1+u^2) du] Schreibt man nun: u^(n-2) * u^2/(1+u^2) du mit u^(n-2) = r' und u^2/(1+u^2) = s dann: r * s = 1/(n-1) u^(n-1) * (1 - 1/(u^2+1)) r * s' = 1/(n-1) u^(n-1) * ( 2u /(u^2+1)^2) Darin dann 2u /(u^2+1)^2 = t' 1/(n-1) u^(n-1) = v t * v = - 1/(n-1) u^(n-1)/(1+u^2) t* v' = (n-1) u^(n-2)/(1+u^2) Schreiben wir nun mal alles zusammen, so hebt sich vieles Weg, es bleibt: int[..] = 1/(n-1) u^(n-1) - int[t*v'/(n-1)] int[..] = 1/(n-1) u^(n-1) - int[ u^(n-2)/(1+u^2) du] Jetzt setzen wir wieder u = tan(x) ==> du = (tan(x)^2 + 1) dx int[tan(x)^n dx] = 1/(n-1) tan(x)^(n-1) - int[tan(x)^(n-2) dx] T(n) = 1/(n-1) tan(x)^(n-1) - T(n-2) mfg Das war nur meine Idee, ist ziemlich umständlich, geht das auch ohne diese Substitution?? |
Elsa13 (Elsa13)
Erfahrenes Mitglied Benutzername: Elsa13
Nummer des Beitrags: 61 Registriert: 12-2002
| Veröffentlicht am Sonntag, den 04. April, 2004 - 23:00: |
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Doch, es geht auch so: T(0)(x)=x+C T(1)(x)=int (sinx/cosx) dx= - ln abs(cosx) + C T(n)(x) = int (tanx^n dx)= = int (tanx^(n-2)*(tanx^2 + 1 – 1) dx = = int (tanx^(n-2)*(tanx^2 + 1) dx – int (tanx^(n-2) = = int (tanx^(n-2)*dtanx – int (tanx^(n-2) = = 1/(n-1)*tanx^(n+1) – T(n-2)(x) + C ************************************
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3795 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Montag, den 05. April, 2004 - 09:07: |
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Hi allerseits Es geht noch einfacher: Wir substituieren im Integral DNT= int [(tan x)^n + (tan x)^(n-2)] dx tan x = u und bekommen, weil die Ableitung von tan x nach x mit {1 + (tan x)^2} übereinstimmt, sofort: DNT = int [u^(n-2)] du = 1/(n-1) u^(n-1) = 1/(n-1)*(tan x)^(n-1), was unmittelbar auf die gesuchte Rekursionsformel führt. HIHI: In der Arbeit von e findet man bei der mit ***** unterstrichenen Formel im Exponent einen TF; es sollte (n-1), nicht (n+1) heißen. Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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