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Megamath (Megamath)
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Nummer des Beitrags: 3566
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| | Veröffentlicht am Sonntag, den 22. Februar, 2004 - 12:26: | 
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Hi allerseits,
Mit der Aufgabe LF 230 erscheint
- nicht ohne Hintergedanken-
eine Repetitionsaufgabe:
Man ermittle die Halbachsen der Hyperbel,
deren Gleichung so lautet:
y = (x^2 + 2x – 4) / (x-2)
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
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Nummer des Beitrags: 1144
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| | Veröffentlicht am Sonntag, den 22. Februar, 2004 - 16:40: |
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Hi megamath,
wie du weißt(??) ist morgen Rosenmontag hier, aus diesem Grund wird heute abend überall Karneval gefeiert (bei euch auch?), deshalb wundere dich nicht, wenn meine Antwort etwas später kommt, auf jeden Fall kann ich schon mal sagen, das mir die neuen Aufgaben sehr gefallen!! 
mfg |
Megamath (Megamath)
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| | Veröffentlicht am Sonntag, den 22. Februar, 2004 - 17:40: |
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Hi Ferdi
Bei uns ist zur Zeit ebenfalls Fasnacht,genauer:
an katholischen Orten; die Reformierten kommen eine Woche später.
So haben alle etwas davon!
MfG
H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
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| | Veröffentlicht am Montag, den 23. Februar, 2004 - 12:11: |
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Hi megamath,
nun zu dieser Aufgabe:
y = (x^2 + 2x - 4)/(x-2)
x^2 + 2x - 4 - yx + 2y = 0
Das hattest du ja schon fast alles berechnet, der Mittelpunkt ist M(2/6), verschieben wir das Koordiantensystem, so erhalten wir:
x^2 - xy + 4 = 0
Und das ist ja eine schöne quadratische Form!
Die Matrix hat das charakt. Polynom:
4T^2 - 4T - 1 = 0
Also die Eigenwerte:
(1/2)*(1 + sqrt(2)) und (1/2)*(1 - sqrt(2))
===>
(1/2)*(1 + sqrt(2))*x^2 - (1/2)*(sqrt(2) - 1) = 4
(1/8)*(1 + sqrt(2))*x^2 - (1/8)*(sqrt(2) - 1) = 1
Die Halbachsen müssten also lauten:
a = sqrt(8) / sqrt( 1 + sqrt(2) )
b = sqrt(8) / sqrt( sqrt(2) - 1 )
Zumindest die Halbachse a erinnert irgendwie an die Lösung der Analysis Aufgabe von dir!!
mfg |
Megamath (Megamath)
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Nummer des Beitrags: 3571
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| | Veröffentlicht am Montag, den 23. Februar, 2004 - 12:30: |
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Hi Ferdi
Vielen Dank für Deine Lösung!
Es war meine Absicht,die Extremalaufgabe
von Josfine so zu lösen.
Die dort gesuchte minimale Strecke stimmt mit der doppelten reellen Halbachse überein.
So einfach ist das !
MfG
H.R.Moser,megamath |
Stella234 (Stella234)
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Nummer des Beitrags: 8
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| | Veröffentlicht am Montag, den 23. Februar, 2004 - 16:09: |
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Könntet ihr das bitte noch einmal im Schneckentempo erläutern, damit auch ich mitkomme?
Der Lösungsweg würde mich sehr interessieren!
Danke! |
Tl198 (Tl198)
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Nummer des Beitrags: 1147
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| | Veröffentlicht am Montag, den 23. Februar, 2004 - 16:34: |
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Hi,
ich komme deinem Wunsch gerne etwas später heute nach!
mfg |
Tl198 (Tl198)
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Nummer des Beitrags: 1148
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| | Veröffentlicht am Montag, den 23. Februar, 2004 - 19:17: |
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Hi,
hier erstmal Teil 1:
Wir haben die Ausgangsgleichung:
y = (x^2 + 2x - 4)/(x - 2)
Wir wollen nun zeigen, dass es sich um eine Hyperbel handelt und deren Halbachsen bestimmen!
Dazu lösen wir die Gleichung auf, d.h. wir schaffen den Bruch weg:
x^2 + 2x - 4 - xy + 2y = 0
Dies ist nun der zu Untersuchende Term! Es tauchen x und y linear auf, wir schaffen die weg, indem wir den Mitelpunkt der Hyperbel zum neuen Ursprung des Koordinatensystems machen!!
Den Mittelpunkt erhalten wir als Schnittpunkt der Asymptoten! M(2/6)!
Die neuen Koordianten lauten X und Y, dann:
x - 2 = X ==> x = X + 2
y - 6 = Y ==> y = Y + 6
Setzen wir dies für x und y ein, so erhalten wir, nach ausrechnen:
X^2 - XY + 4 = 0
Dies ist ein gedrehter Kegelschnitt! Wir erkennen dies am gemischten Glied XY!
Morgen, drehen wir dann das Koordinatensystem, so dass die Hyperbel zum Vorschein kommt!
Alles bisher verstanden?
mfg |
Stella234 (Stella234)
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| | Veröffentlicht am Montag, den 23. Februar, 2004 - 19:28: |
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So weit - so gut!
Danke Ferdi und gute Besserung!
stella |
Megamath (Megamath)
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| | Veröffentlicht am Montag, den 23. Februar, 2004 - 21:33: |
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Hi Ferdi,Hi Stella
Ferdi,Du bist auch methodisch und didaktisch auf der Höhe der Zeit.
Ich danke Dir für Deine Erklärungen.
Stella: Du hast es mit Deinem Interesse an der M verdient,dass man sich um dich kümmert
und Dir die nötigen Détails zeigt.
Viel Erfolg beim Studium !
MfG
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
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| | Veröffentlicht am Montag, den 23. Februar, 2004 - 21:50: |
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Hi
Damit der Ofen warm bleibt,stelle ich noch die Zusatzaufgabe:
Man berechne die Koordinaten der Scheitelpunkte der Hyperbel,
auf mindestens zwei verschiedene Arten.
MfG
H.R.Moser,megamath |
Stella234 (Stella234)
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| | Veröffentlicht am Dienstag, den 24. Februar, 2004 - 17:53: |
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Ich fürchte, weitere Erklärungen fallen dem Fasching zum Opfer!
:-( |
Megamath (Megamath)
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| | Veröffentlicht am Dienstag, den 24. Februar, 2004 - 17:58: |
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Hi Stella
Das darf nicht wahr sein !
Warten wir ab!
MfG
H.R.Moser,megamath |
Isuami (Isuami)
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| | Veröffentlicht am Dienstag, den 24. Februar, 2004 - 19:15: |
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hey,
ich bin neu hier und hab mich mal umgeschaut.
Das würde mich auch sehr interessieren, weiß keiner weiter?
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Megamath (Megamath)
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| | Veröffentlicht am Dienstag, den 24. Februar, 2004 - 19:26: |
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Hi Isuami
Doch,doch,ich weiss schon weiter !
Ich möchte die Angelegenheit
den Assistenten überlassen.
Vielleicht sind sie am Aschermittwoch zu haben!
MfG
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
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Nummer des Beitrags: 3578
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| | Veröffentlicht am Dienstag, den 24. Februar, 2004 - 20:49: |
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Hi Isuami
Zu Deiner Orientierung:
Die ursprüngliche Aufgabe lautete so:
Gegeben ist die Funktion f(x)=(x²+2x-4)/(x-2).
Man berechne die Koordinaten der punktsymmetrisch zum Schnittpunkt S
der beiden Asymptoten liegenden Kurvenpunkte P und P´.
Für welchen Wert von x nimmt der Abstand PP´
ein Extremum an, und von welcher Art ist dieses Extremum?.
Wie groß ist der extremale Abstand ?
Eine mögliche Lösung geht so:
Erster Schritt.
°°°°°°°°°°°°
Ermittlung des Schnittpunktes S der beiden Asymptoten,
einer zur y-Achse parallele Asymptote a1 und einer schiefen
Asymptote a2.
a1 : wegen der Polstelle x = 2 lautet die Gleichung von a1 ebenso:
x=2
a2 gewinnen wir durch Ausdividieren oder am einfachsten so:
es ist
f(x)=(x²+2x-4)/(x-2) = (x²-2x + 4x-4)/(x-2) = x+4(x-1) / (x-2);
dies ist, wie man erkennt, für große Absolutwerte von x
annähernd (asymptotisch) gleich y = x + 4,
und das ist auch schon die Gleichung der gesuchten schiefen
Asymptote a2.
Beachte dabei, dass der Bruch (x-1) / (x-2) gegen eins strebt
für x gegen +- unendlich.
Der Schnittpunkt S der Asymptoten ist S(2/6).
Zweiter Schritt
°°°°°°°°°°°°°°
Berechnung der Koordinaten zweier zu S symmetrischer
Kurvenpunkte.
Vorbemerkung
Bei der Kurve handelt es sich, wie leicht zu beweisen ist,
um eine gedrehte Hyperbel H mit S als Mittelpunkt und den
Asymptoten a1, a2.
Eine Hyperbel ist bezüglich ihres Mittelpunktes S
punktsymmetrisch!
Liegt somit der Punkt Po(xo/yo) auf H, so tut dies auch
der zu Po bezüglich S(2/6) symmetrische Punkt P´(x´/y´)
von selbst.
Die gesuchten Koordinatenbeziehungen lauten demnach:
x´= 4 – xo
y´= 12 – yo
yo entnehmen wir der Kurvengleichung:
yo = xo+4(xo-1)/(xo-2)
Nach diesen Angaben kann der Abstand der Punkte PP´= PoP´
als Funktion von xo dargestellt und deren Extremum
ermittelt werden.
Wir wählen aus rechentechnischen Gründen einen andern Weg.
Dritter Schritt
°°°°°°°°°°°°°°
Parallelverschiebung des Koordinatensystem (x,y)
Neuer Nullpunkt eines (X,Y) – Koordinatensystems in S
Die alten Koordinaten x,y eine Punktes P lassen sich durch
seine neuen Koordinaten X, Y,
wie man anhand einer Skizze leicht einsieht,
so ausdrücken:
x = X + 2, y = Y + 6.
Dies setzen wir in die Kurvengleichung
y = x + 4 (x-1)/(x-2) ein; wir erhalten in den neuen
Koordinaten die Gleichung
Y + 6 = X + 2 + 4 (X+1) / X, vereinfacht:
Y = X + 4 / X
Jetzt erkennt man wunderbar die zentrale Symmetrie
(Punktsymmetrie) der Kurve bezüglich des neuen Nullpunktes,
d.h. bezüglich des Punktes S.
Vierter Schritt
°°°°°°°°°°°°°°°
Ermittlung des Extremums der Strecke PP´
Da aus Symmetriegründen PP´= 2 SP gilt, genügt es,
das Extremum von SP zu ermitteln.
Wir arbeiten im neuen System(X,Y)
Für die Punkte S und P gilt:
S: X= 0, Y= 0; P hat die Koordinaten X,Y.
Wir berechnen das Quadrat q des Abstandes OP,
also
q = OP^2 = X^2 + Y^2 = X^2 + (X + 4 / X) ^ 2 =
somit
q = q(X) = 2 X^2 + 8 + 16 / X^2
Wir leiten q(X) nach X ab:
q´(X) = 4 X – 32 / X^3
q´ ist null für X = 8^(¼)
Es liegt ein Minimum vor, da die zweite Ableitung von q,
nämlich q´´ = 4 + 96 / X^4 jedenfalls positiv ist.
Es ist nun nicht mehr schwierig, das Minimum der gesuchten
Strecke zu ermitteln.
Wir berechnen qmin = q* durch Einsetzen
des Wertes X = 8^(¼)
in die Gleichung q(X) = 2 X^2 + 8 + 16 / X^2;
nach leichter Rechnung erhalten wir:
q* = 8 + 4 wurzel (8) = 8 (1 + wurzel (2))
Jetzt berechnen wir wurzel (q*) ;
dies ist die Hälfte der gesuchten minimalen Strecke PP´
Ergebnis:
wurzel (q*) = wurzel(8) * wurzel [1+wurzel(2)] ~ 4,39.
Minimum der Strecke PP´ ~ 8,79.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
|
Isuami (Isuami)
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Benutzername: Isuami
Nummer des Beitrags: 2
Registriert: 02-2004
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 24. Februar, 2004 - 21:18: |
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Ja - das habe ich schon mitbekommen!
Aber ich hätte gerne gewußt, wie es weitergeht, wie man auf die Halbachsen kommt, die Herleitung von TI verstehe ich nicht.
Sorry. |
Megamath (Megamath)
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| | Veröffentlicht am Dienstag, den 24. Februar, 2004 - 21:32: |
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Hi allerseits
Es ist an der Zeit, dass wir uns einen Überblick
verschaffen.
0.
Alles läuft darauf hinaus, zu zeigen, dass das in der Extremalaufgabe
berechnete Abstandsminimum nichts anderes ist als die
doppelte reelle Halbachse a der gegebenen Hyperbel.
1.
Die Aufgabe ist bereits gelöst unter Verwendung der Hauptachsen-
transformation mit der Eigenwertmethode. Das geht rasch und problemlos,
selbst zu Zeiten der grassierenden Fasnacht; Ferdi hat das vorgeführt.
2.
Ferdi hat angedeutet, dass er die Hauptachsentransformation
mittels der Drehungsformeln vorführen wird.
Wir sind gespannt darauf.
3.
Ich deute eine weitere Lösungsmöglichkeit an.
Wir schneiden die Hyperbel mit der Winkelhalbierungsgeraden
der Asymptoten; wir arbeiten dabei grundsätzlich im (verschobenen)
neuen (X,Y)-Koordinatensystem.
Diese Winkelhalbierenden spielen die Rolle der Haupt – und Nebenachse
der Hyperbel; sie können mit verschiedenen Methoden gefunden werden.
Sofort: die Hauptachse hat die Steigung m = 1 + sqrt(2), denn ihr
Richtungswinkel bezüglich der x-Achse beträgt 67,5° .
Die weiteren Berechnungen lassen sich nun leicht bewältigen.
Wir bekommen die Koordinaten der Scheitel und damit die Halbachse a.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Isuami (Isuami)
Neues Mitglied
Benutzername: Isuami
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| | Veröffentlicht am Dienstag, den 24. Februar, 2004 - 22:38: |
|
OK, wenn man den Durchblick hat, geht alles leicht und rasch und problemlos! Wenn man das immer wieder hört, kann man schon mutlos werden.
Danke auf jeden Fall. |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3580
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 25. Februar, 2004 - 06:51: |
|
Hi allerseits
Zur Berechnung der Achsenrichtung eines Kegelschnitts.
Ausgangspunkt: Allgemeine Gleichung zweiten Grades in x und y
A x^2 + 2 B x y + C y^2 + 2 D x + 2 E y + F = 0
Die Lösungen phi1 und phi2 der Gleichung
tan (2 phi) = 2 B / (A - C) sind die Richtungswinkel der
Hauptachsen des Kegelschnitts bezüglich der x-Achse.
Anwendung auf den vorliegenden Fall ;Gleichung
X^2 – X Y + 4 = 0
A = 1 , B = - ½ , C = 0
daraus folgt
tan(2 phi) = - 1 ,
also
2 phi 1 = 135 °, phi 1 = 67,5°
2 phi 2 = 315 °, phi 2 =157,5°
MfG
H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1150
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 25. Februar, 2004 - 13:45: |
|
Hi Leute,
sorry für die Verspätung, aber die Krankheit hat mich doch umgehauen!
Nun zum Rest:
Wir hatten nach Koordinatensystemverschiebung bereits die vereinfachte Form:
X^2 - XY + 4 = 0
Sei eine quadratische Form, ohne lineare Glieder gegeben, also:
Ax^2 + 2Bxy + Cy^2 + D = 0
Dann lautet die Matrix der quadratischen Gleichung:
in unserem Fall also:
Von dieser Matrix suchen wir nun die Eigenwerte, sie sind später in den neuen Koordinaten U und V die Koeffizienten vor U^2 und V^2.
Die Eigenwerte ermitteln wir über det(M - T*E) = 0, das heißt wir ziehen von jedem Element der Hauptdiagonale T ab und berechen von dieser neuen Matrix die Determinante und setzen diese Null. Die Nullstellen der erhaltenen Gleichung sind die Eigenwerte der gesuchten Matrix.
Führen wir die Hauptachsentransformation durch, so erhalten wir dann die Gleichung:
T1*U^2 + T2*V^2 + 4 = 0
Die Hauptachsentransformation wird mit mehrern Matrizen durchgeführt, welche z.B. die normierten Eigenvektoren enthalten, schlussendlich wird die die Matrix M diagonalisiert! D.h. es stehen nur noch in der Hauptdiagonale Werte, sonst ist alles Null! Das hat den Vorteil, dass das gemischte Glied wegfällt und der Kegelschnitt zum vorschein kommt!
==> T^2 - T - (1/4) = 0
==> 4T^2 - 4T - 1 = 0
Dies Polynom hat die Nullstellen:
T1=(1/2)(1+sqrt(2)) und T2=-(1/2)(sqrt(2)-1)
Worraus wir sofort erkennen ein negativer und ein positiver Eigenwert ==> Hyperbel
Wir können unsere Rechnung auch überprüfen:
Es muss gelten:
det(M) = T1*T2 und Spur(M) = T1 + T2
was beides zutrifft!
So das wars erstmal wieder bei Fragen melde dich einfach nochmal!
mfg |
Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3581
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 26. Februar, 2004 - 05:41: |
|
Hi allerseits
In diesem Beitrag soll die Drehung auf Hauptachsen
realiter durchgerechnet werden.
Der Drehwinkel, um welchen das (X,Y) –System um
seinen Nullpunkt gedreht werden soll,
ist der Winkel phi = 67,5°, wie mehrfach erläutert wurde.
Die exakten Werte der trigonometrischen Funktionen
dieses Winkels sind:
tan (phi) = 1 + sqrt(2)
cos (phi) = ½ (sqrt (2 – sqrt(2))
sin (phi) = ½ (sqrt (2 + sqrt(2))
Für die letzten beiden Werte benützen wir die Abkürzungen
cos (phi) = k, sin(phi) = s.
Im Laufe der Rechnung benötigen wir die folgenden Relationen:
k s = ¼ sqrt(2)……………………………………………………..(1)
Begründung:
2 k s = sin (2 phi) = sin 135° = ½ sqrt(2)
k^2 – s^2 + 2 k s = 0………………………………………………(2)
Begründung:
k^2 - s^2 + 2 k s = cos(2 phi) + sin (2 phi)
= cos (135°) + sin (135°) = 0
Drehformeln:
die alten Koordinaten X,Y lassen sich durch die
neuen Koordinaten u, v des um den Winkel phi gedrehten
(X,Y)-Systems wie folgt ausdrücken:
X = k u – s v
Y = s u + k v…………………………………………………..(3)
Damit transformiert sich die gegebene Gleichung
X ^ 2 – X Y + 4 = 0 folgendermaßen:
(k^2 – k s ) u^2+(s^2 + k s ) v^2 +(s^2 – k^2 – 2 k s ) u v + 4 = 0
Die letzte Klammer ist nach (2) null, somit lautet die Gleichung
(k^2 – k s ) u^2 + (s^2 + k s ) v^2 + 4 = 0…………………… (4)
das heißt: die gemischten Terme u * v verschwinden;
das war der Hauptzweck der Übung!
Die Klammern lassen sich mit Formel (1) vereinfachen; es bleibt:
½ (1-sqrt(2)) u^2 + ½ (1 + sqrt(2)) v^2 = - 4
oder nach Umstellung:
½ ( sqrt(2) - 1) u^2 - ½ (1 + sqrt(2)) v^2 = 4
Vergleiche dies mit der allg. Hyperbel: u^2 / a^2 – v^2 / b^2 = 1
Für die reelle Halbachse a gilt somit:
a^2 = 8 / (sqrt(2) -1) = 8 (1 + wurzel (2)) wie früher :
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
|
Stella234 (Stella234)
Junior Mitglied
Benutzername: Stella234
Nummer des Beitrags: 11
Registriert: 02-2003
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 26. Februar, 2004 - 06:17: |
|
Dankeschön an Ferdi und an megamath!
Ich werde es durcharbeiten. |
Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3582
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 26. Februar, 2004 - 07:22: |
|
Hi Stella,
Für Deine Mußestunden mit MM noch eine Kleinigkeit:
eine schlanke Methode, a^2 zu finden.
Wir wissen: die Hauptachse hat den Richtungswinkel 67,5°
bezüglich der x-Achse, somit ist ihre Steigung m = 1 + sqrt(2).
Wir berechnen für die Hyperbel X ^ 2 – X Y + 4 = 0
die Koordinaten eines Scheitels A und damit die Halbachse a
als Abstand des Punktes A vom Nullpunkt des
(X,Y)- Koordinatensystems.
Setze Y = m X in die Hyperbelgleichung ein und löse nach
X^2 auf; Resultat:
X^2 = 4 / (m-1) = sqrt(8), mithin X = 8 ^ (¼),daraus
Y = m X = (1+sqrt(2)) * 8 ^ (¼),
Y^2 = (3 + 2 sqrt(2)) * sqrt(8)
Wir sind am Ziel:
a ^ 2 = X^2 + Y^2 = 2 sqrt(8) [2 + sqrt(2)] =
8 (1 + wurzel (2)) , wie früher!
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
|
Stella234 (Stella234)
Junior Mitglied
Benutzername: Stella234
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Registriert: 02-2003
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 26. Februar, 2004 - 17:54: |
|
megamath, man muss schon sehr viel Insiderwissen haben (zumindest bezüglich Kegelschnitten), um da mitzukommen!
Aus einem früheren sehr schlauen Skriptum habe ich herausgefunden, wie ich auf phi komme (den Steigungswinkel der Hauptachsen). Jetzt steh ich aber an, und zwar hier:
tan (phi) = 1 + sqrt(2)
cos (phi) = ½ (sqrt (2 – sqrt(2))
sin (phi) = ½ (sqrt (2 + sqrt(2))
Ich komme einfach nicht drauf, wie du auf sin und cos von phi kommst! Mit den mir bekannten Umrechnungsformeln schaffe ich es nicht - stehe auf der Leitung.
Vielleicht kannst mich bitte von der runterholen???
Gruß
stella
@ Ferdi:
Deine Darstellung ist für mich ein bisschen zu hoch, verwirrt mich. Und bei der Matrix schreibst du einmal 2B und setzt dann B ein...?! aber danke für die Bemühung!
|
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
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Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 26. Februar, 2004 - 18:06: |
|
Hi Stella,
ich hole Dich bald herauf,von den Kabeln,auf denen Du stehst oder liegst.
MfG
H.R.Moser,megamath
|
Orion (Orion)
Senior Mitglied
Benutzername: Orion
Nummer des Beitrags: 799
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 26. Februar, 2004 - 18:06: |
|
Hallo,
Schreibt man die Hyperbelgleichung in der Form
y = x+4+4/(x-2),
so liest man daraus die Asymptoten x=2 und y=x+4 ab.
Diese schneiden sich im Mittelpunkt M=(2,6). Als Achse
findet man leicht (Winkelhalbierende !)
y = (1+sqrt(2))x+4-2*sqrt(2).
Diese schneidet die Hyperbel in den beiden Scheitelpunkten
S1,2 =
(2±23/4,6±23/4±25/4)
Daraus liest man ab:
a=|MS1|= sqrt[8(1+sqrt(2))]
Schneidet man noch eine Tangente, z.B. in S1, mit
der Asymptote x=2, so erhält man (Nachprüfung wird
empfohlen !)
b = sqrt[8(sqrt(2)-1)].
Kommentar: Nicht sehr elegant, aber man kommt
immerhin mit Schulmathematik aus.
mfG Orion
|
Elsa13 (Elsa13)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Elsa13
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Registriert: 12-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 26. Februar, 2004 - 19:14: |
|
Hallo, Orion,
da bin ich ja gar nicht einmal in schlechter Gesellschaft: so habe ich es auch gemacht, mich aber damit nicht in diese illustren Kreise getraut!
Gruß
elsa |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
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Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 26. Februar, 2004 - 19:18: |
|
Hi Stella
Zuerst zu den goniometrischen Umrechnungen.
Ich rechne zunächst C = (cos (phi))^2 aus und zwar
nach der Formel
C = 1 / [1+ (tan(phi)^2]; ich erhalte
C = 1 / [4 + 2 sqrt(2)] = 1/8 * [4 - 2 sqrt(2)] =
C = ¼ [2 – sqrt(2)] , wzbw
Daraus findest Du leicht
S = (sin (phi))^ 2 = 1 – C = ¼ [2 + sqrt(2)]
Mit herzlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath
|
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3585
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 26. Februar, 2004 - 19:34: |
|
Hi Stella
Die Achsenrichtung bei gedrehten Hyperbeln zu bekommen, ist eine
recht einfache Sache:
Wenn Du in Deinen Notizen nachsiehst und wir beide damit dasselbe
Skriptum meinen, dessen Verfasser ich persönlich kenne und schätze,
so brauchst Du nur das arithmetische Mittel der Richtungswinkel der
Asymptoten zu berechnen et voilà
Du hast so den Richtungswinkel phi* einer Hauptachse erhalten!
Im vorliegenden Fall gilt:
phi* = ½ (45°+90°) = 67,5°; hihi!
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1152
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 26. Februar, 2004 - 20:15: |
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Hi Stella,
noch mal Bezug nehmend auf die Matrix, da hast du einen Fehler meinerseits entdeckt! Ich muss ihn im Wahn überlesen haben! Ich bitte um Verzeihung...
Die richtige Matrix lautet natürlich:
Ich habe auch nie behauptet das dies ein einfaches Thema ist, aber man muss nur mal ein paar Aufgaben durchrechnen, dann sieht man wie einfach die Sache ist!
Wenn du die Sache mit den Matrizen verstehen willst, musst du allerdings schon etwas Ahnung von Matrizenmultiplikation und Transponieren einer Matrix haben, dann könnte ich dich auch "erheben"
mfg |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3588
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 26. Februar, 2004 - 20:32: |
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Hi Stella
Ich möchte Dich schon auch ermuntern,die Hauptachsentransformation mittels
Eigenwerten und Eigenvektoren durchzuführen!
Zumal im Raum geht das kaum anders. In dem
schlauen Scriptum,das Du erwähnt hast,sind einige gute Beispiele
durchgerechnet,übe damit: Erleuchtungen stellen sich bald ein.
MfG
H.R.Moser,megamath
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Stella234 (Stella234)
Junior Mitglied
Benutzername: Stella234
Nummer des Beitrags: 13
Registriert: 02-2003
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 26. Februar, 2004 - 20:51: |
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Danke für die Ermunterung, danke für das Angebot, mich erheben zu wollen:
vorerst versuche ich mich am Boden der Tatsachen.
Man sollte nicht gleich nach den Sternen greifen.
Jetzt habe ich einmal die trigonometrische Umformung kapiert!
stella
(Beitrag nachträglich am 26., Februar. 2004 von stella234 editiert)
(Beitrag nachträglich am 26., Februar. 2004 von stella234 editiert) |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3592
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 26. Februar, 2004 - 21:00: |
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Hi Stella,
Es beeindruckt immer wieder,wie gründlich Du
an die Probleme herangehst,trotz des
Kabelsalats.
Greif nur nach den Sternen!
Auch hier muss man immer wieder
üben !
MfG
H.R.Moser,megamath |
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