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Emil_k (Emil_k)
Mitglied
Benutzername: Emil_k
Nummer des Beitrags: 23
Registriert: 02-2003
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 23. November, 2003 - 11:58: | 
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Hallo
Ich sollte die Konvergenz einer unendlichen Reihe nachweisen!
Das Quotientenkriterium und das Wurzelkriterium versagten
ihren Dienst.
Das allgemeine Glied der Reihe lautet.
a(n) = [1*3*5 *….*(2n-1)] / [2*4*6*….*(2 n ) * (2n+1)]
Kann mir jemand behilflich sein?
Herzlichen Dank im Voraus
Emil k.
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3077
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 23. November, 2003 - 16:30: |
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Hi Emil
Dir kann geholfen werden und zwar mit dem Kritereium
des Schweizer Mathematikers Joseph Ludwig Raabe (1801-1859)
(nicht zu verwechseln mit Julius Raab aus St.Pölten).
Du bildest den Term
r(n) = a(n+1) / a(n) - 1
Die einfachste Form des Kriteriums von Raabe lautet:
Existiert der Grenzwert Ra = lim r(n) für n gegen unendlich
und ist Ra > - 1, so divergiert die Reihe;
für Ra < = -1 ist Konvergenz gesichert.
In Deinem Fall gilt r(n) = [ - 4 n^2 – 10 n - 5 ] / [(2n+2)(2n+3)]
Es kommt Ra = - 1: Konvergenz gesichert.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Orion (Orion)
Senior Mitglied
Benutzername: Orion
Nummer des Beitrags: 704
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Montag, den 24. November, 2003 - 08:39: |
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Hallo,
Bei mir kommt
a(n+1)/a(n) =
(2n+1)/[(2n+2)(2n+3)] ® 0.
Das genügt !
mfG Orion
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3081
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 24. November, 2003 - 09:10: |
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Hi Orion
Mit bestem Dank
zur Kenntnis genommen !
(hatte einen Fieberschub!)
MfG
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3082
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 24. November, 2003 - 12:34: |
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Hi Emil
Wem die Beweismethode mit Konvergenzkriterien nicht behagt,
für den gibt es auch andere Methoden.
Eine davon wird im Lehrbuch von Harro Heuser, Analysis 1, 14.Auflage,
auf Seite 209 als Aufgabe (ohne Lösung, hihi !) ins Spiel gebracht.
Es handelt sich genau um Dein Beispiel und um ein paar andere
Aufgaben, die zum Glück etwas schwieriger sind.
Spielen wir damit und bringen alles unter einen Hut.
Für den dort in Aufgabe 3 auftretenden Term
[1*3*5 *….*(2n-1)] / [2*4*6*….*(2 n )] schreiben wir zur
Abkürzung b(n);
Also
b(n) = [1*3*5 *….*(2n-1)] / [2*4*6*….*(2 n )] .
es gilt somit für Deine Aufgabe
a(n) = b(n) /(2n+1).
Die Ungleichungskette loco citato lautet so:
1/(4n) * 1/b(n) < b(n ) < 1/(2n+1) * 1/b(n)
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Bevor wir zum Beweis dieser Kette übergehen,
leiten wir eine Rekursionsformel für b(n) her, indem wir den
Quotienten q(n) = b(n+1) / b(n) berechnen.
Es entsteht nach kurzer Überlegung:
q(n) = (2n+1) / (2n + 2), somit lässt sich b(n) rekursiv so bestimmen.
b(n+1) = (2n+1) / (2n + 2) * b(n)
Verankerung: b(1) = ½
Die ersten b-Werte sind:
b(2) = 3/8 , b(3) = 5/16, b(4).= 35/128 , b(5) = 63 / 256 , ……
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
Wir beweisen die beiden Teile getrennt, je durch vollständige
Induktion.
I.Ungleichung rechts
[b(n)] ^ 2 < 1 / (2n + 1)
Verankerung
n = 1 - > ¼ < 1/3 : in Ordnung
Vererbung
Die Ungleichung gilt für n (Induktionsvoraussetzung).
Dann folgt zusammen mit der Rekursionsformel
b(n+1) ^ 2 = [(2n+1) / (2n + 2) ] ^ 2 * b(n)^2
< [(2n+1) / (2n + 2)]^2 * 1 / (2n+1)
= (2 n+1) / (2 n + 2) ^ 2 < (*) 1 / (2n + 3)
Das ist gerade die zu beweisende Ungleichung,
angeschrieben für n+1 statt für n, wzbw.
Bezüglich der letzten Ungleichung (*) beachte man, dass
(2n+1)(2n+3)=4n^2 + 8n + 3 < 4 n ^2 + 8n + 4= (2n+2)^2
Die zweite Ungleichung links kann ganz analog bewiesen
werden.
Fortsetzung folgt.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3083
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 24. November, 2003 - 12:54: |
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Hi Emil
Fortsetzung
In der Aufgabe 3 auf Seite 209 des erwähnten Lehrbuches von Heuser
steht die Aufforderung:
man gewinne aus der doppelten Ungleichung (cf meine letzte Arbeit)
die neuen Ungleichungen
1/ [ 2*sqrt(2n) ] < b(n) < 1 / sqrt(2n)
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
und beweise nun die folgenden Behauptungen
(es folgen drei unendliche Reihen, deren
Konvergenzverhalten zu untersuchen ist).
Lösung
Mit vollständiger Induktion wurde in der letzten Arbeit bewiesen
[b(n)] ^ 2 < 1 / (2n + 1)
daraus folgt zunächst
b(n) < 1 / sqrt(2n + 1)
woraus die Hälfte der unterstrichenen Ungleichung sofort folgt.
usw.
Wir kehren zurück zu Deiner Reihe mit dem allgemeinen Glied
a(n) = [1*3*5 *….*(2n-1)] / [2*4*6*….*(2 n ) * (2n+1)];
stenographisch:
a(n) = b(n) / (2n+1), also b(n) = (2n+1) * a(n)
mit der bewiesenen Ungleichung
entsteht die Abschätzung
a(n) < 1 / [(2n +1) sqrt(2n)];
rechts steht das allgemeine Glied einer konvergenten Majorante.
Deiner Reihe.
Ich komme in einem ganz anderen Zusammenhang auf den in dieser
Arbeit benützten Term b(n) zurück.
Man begegnet ihm nämlich auch in der Stochastik bei gewissen
Aufgaben, aber das ist eine andere Geschichte.
Davon soll in einer Fortsetzung die Rede sein.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3084
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 24. November, 2003 - 13:11: |
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Hi
Die erwähnte Aufgabe aus der Stochastik lautet:
Eine Laplace-Münze wird 2n - mal geworfen.
Man berechne die Wahrscheinlichkeit p = p(n)
für genau n Erfolge (Erfolg: es erscheint Zahl).
Resultat.
Mit B(n,k) = n! / ( k! (n-k)!) gilt
p(n) = B(2n, n ) / 2^ (2n)
also auch
p(n) = b(n) = [1*3*5 *….*(2n-1)] / [2*4*6*….*(2 n )]
Man rechne nach!
Mit Hilfe der Formel von Stirling
n! ~ (n / e) ^ n * sqrt (2 Pi n) erhält man angenähert
b(n) ~ 1/ sqrt (Pi n)
Für n = 100 bekommt man angenähert:
1/sqrt(100 Pi) ~ 0,056419
Mit Binomialkoeffizient kommt
B(200,100) / 4^100 ~ 0,056348.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Elsa13 (Elsa13)
Mitglied
Benutzername: Elsa13
Nummer des Beitrags: 39
Registriert: 12-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 24. November, 2003 - 16:28: |
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Hallo,
ich hätte noch etwas anderes zu bieten für die Reihe ganz oben:
Ich bekomme:
a(n+1)/a(n) = (2n+1)^2/[(2n+2)(2n+3)]
und bei mir ist
a(n+1)/a(n) – 1 = (-6n^2-5n)/(4n^2+10n+6)
was stimmt nun? 
liebe Grüße
elsa |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3088
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 24. November, 2003 - 16:56: |
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Hi,Hi
Ich erwarte einenn weitern Vorschlag zur Güte
MfG
H.R.Moser,megamath |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3089
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 24. November, 2003 - 17:02: |
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Hi Elsa
Wir haben einen grossen Spielraum.
Die Reihe wird mir zu Liebe schon konvergieren!*
MfG
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3090
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 24. November, 2003 - 17:25: |
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Hi Elsa,
DEINE Rechnung stimmt natürlich !
Nur hastd Du den Term n * {a(n+1)/a(n) -1 }
berechnet,wie es sein muss!!!
Denn gerade dieser Term ist bei Raabe wesentlich
Sein Grenzwert ist - 3/2< -1,daher ist die Reihe
konvergent.
In der Einleitung steckt ganz oben ein TF,
verursacht von meinem gestrigen Fieberschub,
das sage ich heute im Nachhinein und bitte um E.
Herzliche Grüsse
Hans Rudolf |
Elsa13 (Elsa13)
Mitglied
Benutzername: Elsa13
Nummer des Beitrags: 40
Registriert: 12-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 24. November, 2003 - 21:48: |
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Da wünsche ich Dir gute Besserung!
Bei der Erläuterung der Ungleichungskette von Heuser kam ich mit bis zu der Stelle, wo Du schreibst:
...woraus die Hälfte der unterstrichenen Ungleichung sofort folgt.
usw.
Hier stehe ich an!
Liebe Grüße
elsa
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3091
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 25. November, 2003 - 08:38: |
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Hi allerseits,
Gestern und vorgestern haben sich in dieser
umfangreichen Arbeit einige Fehler eingenistet,
die verschiedenen Autoren zuzuschreiben sind.
Ich eröffnete den Reigen gleich am Anfang furioso.
Daher soll die Startphase in verbesserter Version
nochmals aufgezeichnet werden.
Hi Emil
Dir kann geholfen werden und zwar mit dem Kriterium
von Raabe.
Du bildest den Term
r (n) = n {a(n+1) / a(n) - 1 }
(achte auf den Faktor n vor der geschweiften Klammer!)
Die einfachste Form des Kriteriums von Raabe lautet:
Existiert der Grenzwert Ra = lim r(n)
für n gegen unendlich
und ist Ra > - 1, so divergiert die Reihe;
für Ra < -1 ist Konvergenz gesichert.
In Deinem Fall gilt r(n) = [- 6 n ^ 2 – 5 n ] / [4 n^2 + 10 n + 6]
Es kommt Ra = - 3/2… - > Konvergenz gesichert.
NB
Der Limes a(n+1) / a(n) selber ist 1 (nicht null),
da a(n+1) / a(n) = (2n + 1) ^ 2 / [ (2n +3) (2n+1) ] gilt.
Das Quotientenkriterium gibt keine Entscheidung, daher
setzten wir das etwas schärfere Raabesche Kriterium ein.
Dies entspricht offenbar den Intentionen des Aufgabenstellers!
Jetzt ist hoffentlich einiges klarer geworden!
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3092
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 25. November, 2003 - 10:41: |
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Hi elsa,
Meine Glückwünsche zu Deinem Erfolg beim Nachvollzug
meiner Ausführungen!
Ein paar Ergänzungen sollen die Lücken noch ausfüllen, indem
wir nach dem Satz
„Mit vollständiger Induktion wurde in der letzten Arbeit bewiesen
[b(n)] ^ 2 < 1 / (2n + 1)
daraus folgt zunächst
b(n) < 1 / sqrt(2n + 1)“ weiterfahren:
wegen sqrt(2n + 1) > sqrt(2n)
folgt
b(n) < 1 / sqrt(2n), und das steht bei Heuser ganz rechts.
Den linken Teil kannst Du mit analoger Rechnung durch vollständige
Induktion selber beweisen!
Ich zeige Dir die Wirksamkeit der Ungleichungen am Zahlenbeispiel
n = 100:
In der Mitte thront M = b(100) = binomial (200,100) /4^100 ~ 0.05635
links steht L(100) = 1 / [2 sqrt (200)] ~ 0,03536,
rechts steht R(100) = 1/ sqrt (200) ~ 0,07071
Vergleiche damit die Abschätzung nach Stirling:
St(100) ~ 1 / sqrt(100 Pi) ~ 0,05642
Damit sollte der Sinn der Sache bald klar werden.
Mit herzlichen Grüßen
Hans Rudolf Moser
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Elsa13 (Elsa13)
Mitglied
Benutzername: Elsa13
Nummer des Beitrags: 41
Registriert: 12-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 25. November, 2003 - 21:34: |
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Dankeschön!
Schön langsam verstehe ich ...
elsa |
