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Konvergenz einer unendlichen Reihe na...

ZahlReich - Mathematik Hausaufgabenhilfe » Universitäts-Niveau » Analysis » Konvergenz » Konvergenz einer unendlichen Reihe nachzuweisen « Zurück Vor »

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Emil_k (Emil_k)
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Benutzername: Emil_k

Nummer des Beitrags: 23
Registriert: 02-2003
Veröffentlicht am Sonntag, den 23. November, 2003 - 11:58:   Beitrag drucken

Hallo

Ich sollte die Konvergenz einer unendlichen Reihe nachweisen!
Das Quotientenkriterium und das Wurzelkriterium versagten
ihren Dienst.
Das allgemeine Glied der Reihe lautet.
a(n) = [1*3*5 *….*(2n-1)] / [2*4*6*….*(2 n ) * (2n+1)]
Kann mir jemand behilflich sein?

Herzlichen Dank im Voraus

Emil k.
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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 3077
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Sonntag, den 23. November, 2003 - 16:30:   Beitrag drucken

Hi Emil



Dir kann geholfen werden und zwar mit dem Kritereium
des Schweizer Mathematikers Joseph Ludwig Raabe (1801-1859)
(nicht zu verwechseln mit Julius Raab aus St.Pölten).

Du bildest den Term
r(n) = a(n+1) / a(n) - 1
Die einfachste Form des Kriteriums von Raabe lautet:
Existiert der Grenzwert Ra = lim r(n) für n gegen unendlich
und ist Ra > - 1, so divergiert die Reihe;
für Ra < = -1 ist Konvergenz gesichert.

In Deinem Fall gilt r(n) = [ - 4 n^2 – 10 n - 5 ] / [(2n+2)(2n+3)]
Es kommt Ra = - 1: Konvergenz gesichert.


Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath

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Orion (Orion)
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Benutzername: Orion

Nummer des Beitrags: 704
Registriert: 11-2001
Veröffentlicht am Montag, den 24. November, 2003 - 08:39:   Beitrag drucken

Hallo,

Bei mir kommt

a(n+1)/a(n) =

(2n+1)/[(2n+2)(2n+3)] ® 0.

Das genügt !




mfG Orion
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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 3081
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Montag, den 24. November, 2003 - 09:10:   Beitrag drucken

Hi Orion

Mit bestem Dank
zur Kenntnis genommen !
(hatte einen Fieberschub!)

MfG
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 3082
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Montag, den 24. November, 2003 - 12:34:   Beitrag drucken

Hi Emil

Wem die Beweismethode mit Konvergenzkriterien nicht behagt,
für den gibt es auch andere Methoden.
Eine davon wird im Lehrbuch von Harro Heuser, Analysis 1, 14.Auflage,
auf Seite 209 als Aufgabe (ohne Lösung, hihi !) ins Spiel gebracht.
Es handelt sich genau um Dein Beispiel und um ein paar andere
Aufgaben, die zum Glück etwas schwieriger sind.
Spielen wir damit und bringen alles unter einen Hut.

Für den dort in Aufgabe 3 auftretenden Term
[1*3*5 *….*(2n-1)] / [2*4*6*….*(2 n )] schreiben wir zur
Abkürzung b(n);

Also
b(n) = [1*3*5 *….*(2n-1)] / [2*4*6*….*(2 n )] .




es gilt somit für Deine Aufgabe
a(n) = b(n) /(2n+1).

Die Ungleichungskette loco citato lautet so:
1/(4n) * 1/b(n) < b(n ) < 1/(2n+1) * 1/b(n)
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
Bevor wir zum Beweis dieser Kette übergehen,
leiten wir eine Rekursionsformel für b(n) her, indem wir den
Quotienten q(n) = b(n+1) / b(n) berechnen.
Es entsteht nach kurzer Überlegung:
q(n) = (2n+1) / (2n + 2), somit lässt sich b(n) rekursiv so bestimmen.
b(n+1) = (2n+1) / (2n + 2) * b(n)
Verankerung: b(1) = ½
Die ersten b-Werte sind:
b(2) = 3/8 , b(3) = 5/16, b(4).= 35/128 , b(5) = 63 / 256 , ……
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°

Wir beweisen die beiden Teile getrennt, je durch vollständige
Induktion.

I.Ungleichung rechts

[b(n)] ^ 2 < 1 / (2n + 1)
Verankerung
n = 1 - > ¼ < 1/3 : in Ordnung

Vererbung
Die Ungleichung gilt für n (Induktionsvoraussetzung).
Dann folgt zusammen mit der Rekursionsformel
b(n+1) ^ 2 = [(2n+1) / (2n + 2) ] ^ 2 * b(n)^2
< [(2n+1) / (2n + 2)]^2 * 1 / (2n+1)
= (2 n+1) / (2 n + 2) ^ 2 < (*) 1 / (2n + 3)
Das ist gerade die zu beweisende Ungleichung,
angeschrieben für n+1 statt für n, wzbw.

Bezüglich der letzten Ungleichung (*) beachte man, dass

(2n+1)(2n+3)=4n^2 + 8n + 3 < 4 n ^2 + 8n + 4= (2n+2)^2

Die zweite Ungleichung links kann ganz analog bewiesen
werden.

Fortsetzung folgt.

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 3083
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Montag, den 24. November, 2003 - 12:54:   Beitrag drucken

Hi Emil


Fortsetzung

In der Aufgabe 3 auf Seite 209 des erwähnten Lehrbuches von Heuser
steht die Aufforderung:
man gewinne aus der doppelten Ungleichung (cf meine letzte Arbeit)
die neuen Ungleichungen
1/ [ 2*sqrt(2n) ] < b(n) < 1 / sqrt(2n)
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
und beweise nun die folgenden Behauptungen
(es folgen drei unendliche Reihen, deren
Konvergenzverhalten zu untersuchen ist).

Lösung
Mit vollständiger Induktion wurde in der letzten Arbeit bewiesen
[b(n)] ^ 2 < 1 / (2n + 1)
daraus folgt zunächst
b(n) < 1 / sqrt(2n + 1)
woraus die Hälfte der unterstrichenen Ungleichung sofort folgt.
usw.

Wir kehren zurück zu Deiner Reihe mit dem allgemeinen Glied
a(n) = [1*3*5 *….*(2n-1)] / [2*4*6*….*(2 n ) * (2n+1)];
stenographisch:
a(n) = b(n) / (2n+1), also b(n) = (2n+1) * a(n)
mit der bewiesenen Ungleichung
entsteht die Abschätzung
a(n) < 1 / [(2n +1) sqrt(2n)];
rechts steht das allgemeine Glied einer konvergenten Majorante.
Deiner Reihe.

Ich komme in einem ganz anderen Zusammenhang auf den in dieser
Arbeit benützten Term b(n) zurück.
Man begegnet ihm nämlich auch in der Stochastik bei gewissen
Aufgaben, aber das ist eine andere Geschichte.
Davon soll in einer Fortsetzung die Rede sein.

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath

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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 3084
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Montag, den 24. November, 2003 - 13:11:   Beitrag drucken

Hi

Die erwähnte Aufgabe aus der Stochastik lautet:

Eine Laplace-Münze wird 2n - mal geworfen.
Man berechne die Wahrscheinlichkeit p = p(n)
für genau n Erfolge (Erfolg: es erscheint Zahl).

Resultat.

Mit B(n,k) = n! / ( k! (n-k)!) gilt
p(n) = B(2n, n ) / 2^ (2n)

also auch
p(n) = b(n) = [1*3*5 *….*(2n-1)] / [2*4*6*….*(2 n )]
Man rechne nach!

Mit Hilfe der Formel von Stirling
n! ~ (n / e) ^ n * sqrt (2 Pi n) erhält man angenähert
b(n) ~ 1/ sqrt (Pi n)

Für n = 100 bekommt man angenähert:
1/sqrt(100 Pi) ~ 0,056419
Mit Binomialkoeffizient kommt
B(200,100) / 4^100 ~ 0,056348.

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath


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Elsa13 (Elsa13)
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Benutzername: Elsa13

Nummer des Beitrags: 39
Registriert: 12-2002
Veröffentlicht am Montag, den 24. November, 2003 - 16:28:   Beitrag drucken

Hallo,
ich hätte noch etwas anderes zu bieten für die Reihe ganz oben:

Ich bekomme:

a(n+1)/a(n) = (2n+1)^2/[(2n+2)(2n+3)]

und bei mir ist

a(n+1)/a(n) – 1 = (-6n^2-5n)/(4n^2+10n+6)

was stimmt nun?

liebe Grüße
elsa
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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 3088
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Montag, den 24. November, 2003 - 16:56:   Beitrag drucken

Hi,Hi



Ich erwarte einenn weitern Vorschlag zur Güte

MfG
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 3089
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Montag, den 24. November, 2003 - 17:02:   Beitrag drucken

Hi Elsa

Wir haben einen grossen Spielraum.
Die Reihe wird mir zu Liebe schon konvergieren!*

MfG
H.R.Moser,megamath

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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 3090
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Montag, den 24. November, 2003 - 17:25:   Beitrag drucken

Hi Elsa,

DEINE Rechnung stimmt natürlich !
Nur hastd Du den Term n * {a(n+1)/a(n) -1 }
berechnet,wie es sein muss!!!
Denn gerade dieser Term ist bei Raabe wesentlich
Sein Grenzwert ist - 3/2< -1,daher ist die Reihe
konvergent.
In der Einleitung steckt ganz oben ein TF,
verursacht von meinem gestrigen Fieberschub,
das sage ich heute im Nachhinein und bitte um E.
Herzliche Grüsse
Hans Rudolf
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Elsa13 (Elsa13)
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Benutzername: Elsa13

Nummer des Beitrags: 40
Registriert: 12-2002
Veröffentlicht am Montag, den 24. November, 2003 - 21:48:   Beitrag drucken

Da wünsche ich Dir gute Besserung!

Bei der Erläuterung der Ungleichungskette von Heuser kam ich mit bis zu der Stelle, wo Du schreibst:

...woraus die Hälfte der unterstrichenen Ungleichung sofort folgt.
usw.

Hier stehe ich an!

Liebe Grüße
elsa
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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 3091
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Dienstag, den 25. November, 2003 - 08:38:   Beitrag drucken

Hi allerseits,

Gestern und vorgestern haben sich in dieser
umfangreichen Arbeit einige Fehler eingenistet,
die verschiedenen Autoren zuzuschreiben sind.
Ich eröffnete den Reigen gleich am Anfang furioso.
Daher soll die Startphase in verbesserter Version
nochmals aufgezeichnet werden.

Hi Emil

Dir kann geholfen werden und zwar mit dem Kriterium
von Raabe.

Du bildest den Term
r (n) = n {a(n+1) / a(n) - 1 }
(achte auf den Faktor n vor der geschweiften Klammer!)

Die einfachste Form des Kriteriums von Raabe lautet:
Existiert der Grenzwert Ra = lim r(n)
für n gegen unendlich

und ist Ra > - 1, so divergiert die Reihe;
für Ra < -1 ist Konvergenz gesichert.

In Deinem Fall gilt r(n) = [- 6 n ^ 2 – 5 n ] / [4 n^2 + 10 n + 6]
Es kommt Ra = - 3/2… - > Konvergenz gesichert.

NB
Der Limes a(n+1) / a(n) selber ist 1 (nicht null),
da a(n+1) / a(n) = (2n + 1) ^ 2 / [ (2n +3) (2n+1) ] gilt.

Das Quotientenkriterium gibt keine Entscheidung, daher
setzten wir das etwas schärfere Raabesche Kriterium ein.
Dies entspricht offenbar den Intentionen des Aufgabenstellers!

Jetzt ist hoffentlich einiges klarer geworden!

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath



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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 3092
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Dienstag, den 25. November, 2003 - 10:41:   Beitrag drucken

Hi elsa,

Meine Glückwünsche zu Deinem Erfolg beim Nachvollzug
meiner Ausführungen!
Ein paar Ergänzungen sollen die Lücken noch ausfüllen, indem
wir nach dem Satz

„Mit vollständiger Induktion wurde in der letzten Arbeit bewiesen
[b(n)] ^ 2 < 1 / (2n + 1)
daraus folgt zunächst
b(n) < 1 / sqrt(2n + 1)“ weiterfahren:

wegen sqrt(2n + 1) > sqrt(2n)
folgt
b(n) < 1 / sqrt(2n), und das steht bei Heuser ganz rechts.

Den linken Teil kannst Du mit analoger Rechnung durch vollständige
Induktion selber beweisen!

Ich zeige Dir die Wirksamkeit der Ungleichungen am Zahlenbeispiel
n = 100:
In der Mitte thront M = b(100) = binomial (200,100) /4^100 ~ 0.05635
links steht L(100) = 1 / [2 sqrt (200)] ~ 0,03536,
rechts steht R(100) = 1/ sqrt (200) ~ 0,07071

Vergleiche damit die Abschätzung nach Stirling:
St(100) ~ 1 / sqrt(100 Pi) ~ 0,05642

Damit sollte der Sinn der Sache bald klar werden.

Mit herzlichen Grüßen
Hans Rudolf Moser



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Elsa13 (Elsa13)
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Benutzername: Elsa13

Nummer des Beitrags: 41
Registriert: 12-2002
Veröffentlicht am Dienstag, den 25. November, 2003 - 21:34:   Beitrag drucken

Dankeschön!
Schön langsam verstehe ich ...

elsa

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