mythos2002 (mythos2002)
Erfahrenes Mitglied Benutzername: mythos2002
Nummer des Beitrags: 499 Registriert: 03-2002
| Veröffentlicht am Freitag, den 25. April, 2003 - 00:18: |
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Hi, setze für den halben Winkel x/2 eine neue Variable z: x/2 = z dann ist: sin(z) = cos(2z) Auf Grund der Additionstheoreme ist: cos(2z) = cos²(z) - sin²(z), also lautet die Gleichung umgeformt: sin(z) = cos²(z) - sin²(z), für cos²(z) ist 1 - sin²(z) zu setzen: sin(z) = 1 - 2*sin²(z) 2*sin²(z) + sin(z) - 1 = 0 diese quadratische Gleichung in sin(z) wird mit der Formel aufgelöst: sin_1,2(z) = (-1 +/- sqrt(1 + 4*2))/4 sin_1,2(z) = (-1 +/- 3)/4 sin_1(z) = 1/2 z_1 = pi/6 (30°) + k*2pi (k*360°) (1. Quadrant) oder z_1 = 5*pi/6 (150°) + k*2pi (k*360°) (2. Quadrant) k € Z (ganze Zahlen) sin_2(z) = -1 z_2 = 3*pi/2 (270°) + k*2pi (k*360°) k € Z Somit ergibt sich x (aus der eingangs erfolgten Substitution) jeweils zu 2z: x = pi/3 + k*4pi, 5*pi/3 + k*4pi; 3pi + k*4pi bzw. x = 60°, 300°; 540° (+ k*720°) Wenn nur der Wert im 1. Quadranten zu ermitteln ist, gibt es einen wesentlich einfacheren Lösungsweg: Verwende die Beziehung: cos(a°) = sin(90° - a°), die Gleichung wird zu sin(x/2) = sin(90° - x) Im ersten Quadranten kann man nun die Argumente (Winkelwerte) bei gleicher Winkelfunktion gleichsetzen: x/2 = 90° - x 3x/2 = 90° x = 60° ====== Gr mYthos
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