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willi
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 07. Juli, 2002 - 11:46: | 
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Ich habe ein Problem bei folgenden Aufgaben:
1. Stelle fest, ob die funktion f:R->Wf mit y=x+|x|-2 surjektiv, injektiv und bijektiv ist.
2. Ist die Funktion f(x90 Wurzel aus 3x+1; x element R+ umkehrbar?
3. Beweise den Sonderfall der Grenzwertsätze:
lim n-> unendlich (k+an) = k+ lim n->unendlich an
4. Untersuche die folge auf Monotonie:
an=7n+8/9n+10 |
M.
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 07. Juli, 2002 - 23:10: |
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Hi willi,
Aufgabe 1.
Jede Funktion f: R->Wf ist surjektiv. Hier: Wf ist nach Definition folgendes:
Wf={z: es existiert (mindestens) ein x aus R, so dass z=x+|x|-2}
Die Funktion ist nicht injektiv, da mit x=0 =>
y=-2 und mit x=-1 => y=-1+|-1|-2=-2
=> f ist nicht bijektiv, da nicht injektiv.
2.) Was heißt denn:
f(x90 Wurzel aus 3x+1; x element R+ ???
Aber:
Falls bijektiv => umkehrbar!
3.) Was ist k? Eine Konstante?
Ich würde das folgendermaßen machen:
Definiere bn:=(k+an)
Dann ist die Behauptung:
lim (bn)=k+lim(an)
Da bn-an=k für alle n aus N, ist lim(bn - an)=k.
Nach den Grenzwertgesätzen für Folgen (die habt ihr ja gegeben, oder?) ist lim(bn - an)=lim(bn)-lim(an)
=>
lim(bn)-lim(an)=k
Dies ist äquivalent zur Behauptung!
(Bemerkung: lim ist immer bei n->oo )
Noch einfacher:
Definiere:
bn:=k+an
=>
lim(bn)=lim(k+an)=lim(k)+lim(an)=k+lim(an)
Kann aber sein, das etwas ganz anderes gefragt ist...
4. Es ist
a(n+1)-an=7(n+1)+(8/9)(n+1)+10-(7n+(8/9)n+10)
=7+(8/9)>0
=>
a(n+1)>an => (streng) monoton wachsend
Hoffe, dass dies auch die Aufgabenstellung war. Ansonsten bitte bei dem 2en Ausdruck "8/9n" Klammern setzen!
Mit freundlichen Grüßen
M. |
Tyll (tyll)
Neues Mitglied
Benutzername: tyll
Nummer des Beitrags: 2
Registriert: 10-2001
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 07. Juli, 2002 - 23:13: |
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Hi willi!
1. surj.: Wegen Wf = Wertebereich von f = {y|Es ext. ein x mit y=f(x)} folgt schon aus der Definition der funktion die Surjektivität
inj. Seien a,b > 0. Dann gilt: f(-a) = -a+|-a|-2 = -a+a-2 = 0 = -b+b-2 = -b+|b|-2 = f(-b) => f nicht inj.
bij.: Da f nicht inj. ist, kann f nicht bij., da es sonst inj. wäre.
2. f ist umkehrbar, wenn es eine eindeutige Funktion g gibt mit f(g(x)) = x
setze g(x) = 1/3*(x²-1). Dann ist g eindeutig und es gilt f(g(x)) = SQR(3*(1/3(x²-1)+1)) = x.
3. Setze (kn) = k für alle n. Dann ist (kn)->k.(an) sei als konvergent vorausgesetzt mit Limes a. Sei E aus R+. Setze E´= E/2. Dann gibt es nk und na aus N mit |kn-k|<E´ und |an-a|<E´. Sei n0:=max{kn,an}. Dann gilt für alle n>n0, n>nk und n>na, also |kn-k|<E´ und |an-a|<E´. Dann gilt mit der Dreiecksungleichung: |kn-k+an-a| <= |kn-k|+ |an-a|<2E´= E. Fertig.
4. an ist monoton steigend. Sei n aus N. Dann gilt: an=7n+(8/9)n+10 < 7(n+1)+(8/9)(n+1)+10 = a(n+1)
Gruß
Tyll |
willi
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Montag, den 08. Juli, 2002 - 14:23: |
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Aufgabe 2 heißt:
f(x)= Wurzel aus 3x+1, x Element R+ |
Ingeborg
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Montag, den 08. Juli, 2002 - 19:33: |
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Hallo Willi,
warum machst du keine Klammern? |
M.
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Montag, den 08. Juli, 2002 - 23:50: |
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Hallo Willi,
ja, da hätte ich selber drauf kommen können:
SHIFT+9= )
und
SHIFT+0= =
Die Aufgabe 2 hat dir Tyll aber gelöst. Umkehrbar, steht in einigen meiner Büchern, heiße injektiv. Ich kenne es, dass man von einer Umkehrfunktion verlangt, dass die Funktion, dessen Umkehrfunktion man angeben soll, bijektiv ist.
Es ist also anscheinend zu unterscheiden, ob eine Funktion umkehrbar ist oder ob man eine Umkehrfunktion (ohne Änderung der Mengen) angeben will.
Mit freundlichen Grüßen
M. |
willi
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 09. Juli, 2002 - 18:06: |
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Danke!!! |
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