| Autor |
Beitrag |
    
Izrafil (Izrafil)
Neues Mitglied
Benutzername: Izrafil
Nummer des Beitrags: 1
Registriert: 10-2009
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 21. Oktober, 2009 - 00:41: | 
|
Hallo, ich bin neu im Forum und habe auch direkt ein Anliegen. Nach den Ferien werde ich Eine Matheklausur schreiben und eine bestimmte Übungsaufgabe bereitet mir Kopfzerbrechen. Die Lösung ist vorhanden, doch der Lösungsweg ist das Problem.
Hier die Aufgabe:
Es ist F(x)=(x³-4x²+4x)e^x
a) Untersuche den graphen von f auf Achsenschnittpunkte, Extrempunkte, Wendepunkte und asymptotisches Verhalten.
Ergebnis:
f(x)=(x³-4x²+4x)e^x
f'(x)=(x³-x²-4x+4)e^x
f''(x)=(x³+2x²-6x)e^x
<< Ich verstehe nichteinmal, wie man auf die Ableitungen kommt. (Wieso ist die Ableitung von x³ = x³ ?) >>
Nullstellen: x1=0, x2=2
Extrempunkte:
Tiefpunkte (-2 | -23e^-2)~~ (-2 | -4,33)
<< Das "~~" soll "ungefähr" bedeuten >>
Hochpunkt (1 | e)
Tiefpunkt (2 | 0)
Asymptoten: w1(-1-√7 | -3,033); w2(-1+√7 | 1,07); w3(0 | 0)
lim f(x)=0; Die 1. Achse ist Asymptote.
x→∞
b) Berechne den Inhalt der FLäche, die der Graph von f mit der 1. Achse im dritten Quadranten einschließt.
Lösung: A=|-18| << Also A=18 >>
c) Bestimme für a€IR << Element der reellen Zahlen >> eine Gleichung der Tangente durch den Punkt P(a|f(a)) an den Graphen von f. Für welche Werte von a wird der Achsenabschnitt der Tangente auf der 2. Achse maximal?
Lösung:
f'(a)=(a³-a²-4a+4)e^a
Tangentengleichung: y=f'(a)x+c
Es gilt:
f(a)=f'(a)*a+c, also
c=f(a)-f'(a)*a
c=[(a³-4a²+4a)-(a^4-a³-4a²+4a)]*e^a
c=(-a^4)*e^a
Für die Tangentengleichung gilt:
y=(a³-a²-4a+4)e^a*x-a^4*e^a
Der Achsenabschnitt ergibt sich für x=0
mit ya=-a^4*e^a
ya(a)=-a^4*e^a
y´a(a)=(-a^4-4a³)e^a
y´a(a)=0 für a=0 und a=-4
Das Maximum ergibt sich für a=0. |
Ingo (Ingo)
Moderator
Benutzername: Ingo
Nummer des Beitrags: 1355
Registriert: 08-1999
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 21. Oktober, 2009 - 01:47: |
|
a) Wende die Produktregel an.
Für f(x)=g(x)ex ist f'(x) = g'(x)ex + g(x)ex = ex(g'(x)+g(x))
Nullstellen: f(x)=0, da ex>0 ist nur der Klammerterm zu betrachten. Wenn Du dort ein x ausklammerst, erhältst Du eine quadratische Funktion, die problemlos mit pq-Formel gelöst werden kann.
Extremstellen: f'(x)=0, eine Lösung raten, danach Linearterm abspalten (zB. durch Polynomdivision) und wieder entsteht eine quadratische Gleichung
Wendestellen: f''(x)=0, Vorgehen ansonsten wie bei den Nullstellen
Asymptoten: Haben nichts mit den Punkten W1-W3 zu tun, merk Dir am besten dass die e-Funktion im allgemeinen den Ausschlag gibt.(-> x-Achse ist Asymptote für x-> -¥)
b) Integriere zwischen den negativen Nullstellen
c) Sag am besten mal, wo du bei der Rechnung ausgestiegen bist. Jede einzelne Umformung zu erklären wäre um diese Zeit etwas zu aufwendig  |
|
