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Marco1 (Marco1)
Mitglied
Benutzername: Marco1
Nummer des Beitrags: 33
Registriert: 09-2008
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 27. Januar, 2009 - 14:16: | 
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Hallo, kann das jemand mal rechnen, mit Lösungsschritten, danke.
Bestimme die allgemeine Lösung des folgenden inhomogenen linearen Gleichungssystems A*X =b mit
A =
(1 -2 b 3
-2 1 0 4
3 0 -2 3
2 -1 -1 10 )
und b =
(1
2
3
4)
wobei b € R zunächst ein beliebiger Parameter ist.
Welche Lösung ergibt sich für die spezielle Wahl b = 1,
und was läßt sich über die
Determinante von A aussagen? (ohne Rechnung). |
Ingo (Ingo)
Moderator
Benutzername: Ingo
Nummer des Beitrags: 1322
Registriert: 08-1999
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 28. Januar, 2009 - 19:28: |
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Da sich anscheinend kein anderer der Aufgabe annehmen möchte, stelle ich mal die Standardfrage:
Was hast Du Dir denn bisher zu der Aufgabe überlegt? Wo scheitern Deine Überlegungen?
Bei Gleichungssystemen ist die Vorgehensweise eigentlich immer die selbe: Matrix durch elementare Umformungen in Dreiecksform (oder noch besser Diagonalform) bringen und dabei darauf achten, dass keine unerlaubten Umformungen durchgeführt werden. Danach kann man das Lösungsverhalten an den Diagonalelementen ablesen. |
Marco1 (Marco1)
Mitglied
Benutzername: Marco1
Nummer des Beitrags: 34
Registriert: 09-2008
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 29. Januar, 2009 - 14:25: |
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die schnellstmögliche Vorgehensweise an Hand der Aufgabe würde mich interessieren, es soll ja das Gauß - Jordan Verfahren sein;
und der Sinn der 2.ten Frage ist mir nicht klar.
VG |
Ingo (Ingo)
Moderator
Benutzername: Ingo
Nummer des Beitrags: 1323
Registriert: 08-1999
| | Veröffentlicht am Freitag, den 30. Januar, 2009 - 00:06: |
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Hallo Marco1,
man sieht einer Matrix im Normalfall nicht an, welches die schnellste Methode ist, sie auf Diagonalgestalt zu bringen. Am systematischsten ist es, die Diagonalelemente nacheinander zu nutzen, um unterhalb der Diagonalen Nullen zu produzieren. Dies führt in 6 Schritten auf eine Dreiecksmatrix, die zur Ermittlung der Lösung ausreicht.
Dieses Vorgehen führt nur dann nicht zu einer Deiecksmatrix, wenn wir im Laufe des Prozesses auf eine 0 in der Diagonalen stoßen. Dann können wir aber durch Vertauschen zweier Zeilen wiederum ein Diagonalelement ungleich Null erzwingen, um den Prozeß fortzusetzen.
Bei der von Dir zitierten Aufgabe wäre also im ersten Schritt die zweite Zeile mit dem doppelten der ersten zu verrechnen, dann die dritte mit dem dreifachen der ersten usw.
Der Sinn der zweiten Frage ist es, einen Sonderfall zu betrachten. Bei richtigem Lösungsweg wirst Du feststellen, dass das angegebene System für b=1 nicht lösbar ist. Was daraus für die Determinante folgt, solltest Du Dir dann selber überlegen. |
Marco1 (Marco1)
Mitglied
Benutzername: Marco1
Nummer des Beitrags: 35
Registriert: 09-2008
| | Veröffentlicht am Freitag, den 30. Januar, 2009 - 09:05: |
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Kannst du das mal lösen , da ich es noch
nie gemacht habe,
kann es mir aber vorstellen, dass dann x1-x4
nur noch abzulesen sein wird.
danke |
Ingo (Ingo)
Moderator
Benutzername: Ingo
Nummer des Beitrags: 1324
Registriert: 08-1999
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 01. Februar, 2009 - 01:10: |
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| | | 1 | -2 | b | 3 | 1 | | -2 | 1 | 0 | 4 | 2 | | 3 | 0 | -2 | 3 | 3 | | 2 | -1 | -1 | 10 | 4 |
(G2)+2(G1) ; (G3)-3(G1) ; (G4)-2(G1)
| | | 1 | -2 | b | 3 | 1 | | 0 | -3 | 2b | 10 | 4 | | 0 | 6 | -2-3b | -6 | 0 | | 0 | 3 | -1-2b | 4 | 2 |
(G3)+2(G2) ; (G4)+(G2)
| | | 1 | -2 | b | 3 | 1 | | 0 | -3 | 2b | 10 | 4 | | 0 | 0 | -2+b | 14 | 8 | | 0 | 0 | -1 | 14 | 6 |
(G3) und (G4) vertauschen, um b weiter ignorieren zu können
Danach (G4)(b-2)+(G3)
| | | 1 | -2 | b | 3 | 1 | | 0 | -3 | 2b | 10 | 4 | | 0 | 0 | -1 | 14 | 6 | | 0 | 0 | 0 | 14+14(b-2) | 8+6(b-2) |
Zusammengefasst
| | | 1 | -2 | b | 3 | 1 | | 0 | -3 | 2b | 10 | 4 | | 0 | 0 | -1 | 14 | 6 | | 0 | 0 | 0 | 14b-14 | 6b-4 |
Die letzte Gleichung besagt nun, dass 14(b-1)x4=6b-4, was nur lösbar ist, wenn b¹1.
In diesem Fall lässt sich die Gleichung nach x4 umformen und das Ergebnis in die dritte Gleichung einsetzen, um so x3 zu bestimmen usw.
Alternativ kannst Du die Matrix natürlich noch weiter umformen, bis Du eine Diagonalmatrix hast. Dann lassen sich die Ergebnisse direkt ablesen. |
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