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Pouvl23 (Pouvl23)
Neues Mitglied
Benutzername: Pouvl23
Nummer des Beitrags: 2
Registriert: 01-2009
| | Veröffentlicht am Freitag, den 16. Januar, 2009 - 12:10: | 
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Integral Typ a²-x²
Hallo, Leute, ich habe dasselbe schon einmalgepostet, vor ein paar Minuten, aber ich glaube in der falschen Rubrik - bin neu hier :-)
kann mir jemand erklären, wie folgender Lösungsweg zustande kommt?
(als Integral benutze ich S, Ober- und Untergrenze darüber bzw. darunter geschrieben, wobei die gepunkteten Linien nur die Grenzen an ihrer Position halten), und jeweils nach jeder Gleichungszeile steht meine Frage dazu ... kann mir die jemand erklärend beantworten? Ich wäre da sehr dankbar für
Ac =
..x=2
4 S Wurzel aus(4-x²)dx =
..x=0
..0
4 S sin(t)(-2sin(t))dt
..Pi/2
Wieso entsteht aus dem (vom Gleichheitszeichen aus) linken Term der rechte? Wieso wird aus der linken Unter-bzw.Obergrenze x=0 und x=2 auf der rechten Seite Pi/2 und Null?
......0
= -16 S sin²(t) dt
.....Pi/2
.....Pi/2
= 16 S sin²(t) dt
.....0
Wo kommt hier plötzlich der Faktor -16 vor dem Integralzeichen her? Und wieso wird er plötzlich, rechts, zu + 16?
.....Pi/2
= 16 S (1-cos2t)/2 dt =
.....0
..Pi/2
8 S (1-cos2t)dt
..0
Ahhh - heißt das, dass das Halbieren von (1-cos2t) auch den Faktor vor dem Integralzeichen halbiert? Wenn ja, warum denn? Und wie konnte der Ausdruck aus der vorangegangenen Gleichung überhaupt entstehen?
Es folgt das Integrieren:
..Pi/2...Pi/2
8[S dt - S cos 2t dt]
..0......0
......Pi/2..........Pi/2
= 8 [t | - (sin2t)/2 | ]
.......0.............0
...und jetzt fangen die das zaubern an und setzen da ein ...
= 8 [(Pi/2 - 0) - (sin2t/2 - sin0/2)]
= 8 Pi/2 - 0 = 4 Pi u²
...und wo am Schluss das u² herkommt, ist mir völlig schleierhaft....
Dank allen, die mir da raus helfen können! |
Jair_ohmsford (Jair_ohmsford)
Senior Mitglied
Benutzername: Jair_ohmsford
Nummer des Beitrags: 812
Registriert: 10-2003
| | Veröffentlicht am Freitag, den 16. Januar, 2009 - 14:02: |
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Hallo Pouvl!
Viele Fragen und schwer zu tippende Antworten 
Ich fange mal mit dem ersten Teil an. Du findest die Rechnung in der angehängten pdf-Datei.
Nach und nach werde ich auch die anderen Teile bearbeiten.
Viele Grüße
Jair
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Jair_ohmsford (Jair_ohmsford)
Senior Mitglied
Benutzername: Jair_ohmsford
Nummer des Beitrags: 813
Registriert: 10-2003
| | Veröffentlicht am Freitag, den 16. Januar, 2009 - 14:33: |
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Sorry, im Anhang oben findet sich ein kleiner Schreibfehler, den ich zu spät gesehen habe. Statt
"Das Ergebnis wäre dann 2 cos x"
muss es im 2. Absatz heißen
Das Ergebnis wäre dann 2 sin x.
Weitere Lösungen folgen in Kürze (wenn mein kaputtes Netzteil nicht ständig Abstürze produziert.) |
Jair_ohmsford (Jair_ohmsford)
Senior Mitglied
Benutzername: Jair_ohmsford
Nummer des Beitrags: 814
Registriert: 10-2003
| | Veröffentlicht am Freitag, den 16. Januar, 2009 - 14:59: |
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So, hier gibt es nun Teil 2, wieder im pdf-Format.
Teil 3 folgt später. |
Pouvl23 (Pouvl23)
Neues Mitglied
Benutzername: Pouvl23
Nummer des Beitrags: 3
Registriert: 01-2009
| | Veröffentlicht am Freitag, den 16. Januar, 2009 - 15:36: |
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Mensch, Jair, Du bist ja klasse! Ich habe mir Deine ersten beiden Teile gespeichert und werde sie jetzt genüsslich wiederkäuen. Freue mich besonders über Deine rasche Antwort - und auf Teil 3 ;-)
Mit bestem Dank - ich sehe hier später wieder rein!
pouvl23
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Jair_ohmsford (Jair_ohmsford)
Senior Mitglied
Benutzername: Jair_ohmsford
Nummer des Beitrags: 815
Registriert: 10-2003
| | Veröffentlicht am Freitag, den 16. Januar, 2009 - 17:15: |
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Über den Dank habe ich mich sehr gefreut. Hier kommt zum Abschluss noch Teil 3. Wenn noch Fragen sind, werde ich sie gern noch beantworte. Ab heute Nacht (etwa 23 Uhr) bin ich wieder am Rechner.
Viele Grüße
Jair |
Pouvl23 (Pouvl23)
Neues Mitglied
Benutzername: Pouvl23
Nummer des Beitrags: 4
Registriert: 01-2009
| | Veröffentlicht am Samstag, den 17. Januar, 2009 - 12:17: |
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Der Dank steht Dir auch wirklich zu, Jair! Genau so jemanden habe ich gebraucht, der wirklich Schritt für Schritt erklären kann! Ich habe die vergangene Nacht zum 'Wiederkäuen', wie ich's nenne, (=zum Nachvollziehen) genutzt - und ich glaube, es hat eingerastet! Große Leistung Deinerseits!
Jetzt mache ich mich an Teil 3 und möchte dafür meinen Dank - vor allem für Deine akribischen Mühen - wiederholen!
pouvl23
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Pouvl23 (Pouvl23)
Neues Mitglied
Benutzername: Pouvl23
Nummer des Beitrags: 5
Registriert: 01-2009
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 18. Januar, 2009 - 11:19: |
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Hallo, Jair,
zwei Fragen habe ich noch:
1.Frage: In Teil 1 schreibst Du:
.2....................Pi/2
4S Wurzel aus(4-x²)dx=4S 2sin(t)*(-2)sin(t)dt
.0.....................0
Das verstehe ich nicht. Dass man die einzelnen Summanden 4 und -x² unter der Wurzel nicht radizieren kann, ist klar. Aber wie kommst Du dann auf das Produkt 2sin(t)*(-2)sin(t)? Und wenn 2*2=4 (das minus vernachlässigt), warum ist dann die Wurzel weg?
2.Frage: In Teil 2 schreibst Du:
In dieser Rechnung steckt eine Variante der Additionstheoreme für trigonometrische Funktionen:
cos 2 alpha = cos² alpha - sin² alpha = 1 - sin² alpha
Wieso kann cos 2alpha = cos² alpha - sin² alpha = 1-sin² alpha sein? Wenn doch gilt:
sin² + cos² = 1 |-sin²
cos² = 1 - sin²
Dann wäre doch cos 2 alpha = cos² alpha ? Kann das stimmen?
pouvl23
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Jair_ohmsford (Jair_ohmsford)
Senior Mitglied
Benutzername: Jair_ohmsford
Nummer des Beitrags: 816
Registriert: 10-2003
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 18. Januar, 2009 - 19:08: |
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Hallo Pouvl!
quote:1.Frage: In Teil 1 schreibst Du:
.2....................Pi/2
4S Wurzel aus(4-x²)dx=4S 2sin(t)*(-2)sin(t)dt
.0.....................0
Das verstehe ich nicht. Dass man die einzelnen Summanden 4 und -x² unter der Wurzel nicht radizieren kann, ist klar. Aber wie kommst Du dann auf das Produkt 2sin(t)*(-2)sin(t)? Und wenn 2*2=4 (das minus vernachlässigt), warum ist dann die Wurzel weg?
Dies ist der schwierigste Teil deines Problems. Du kannst ihn eigentlich nur verstehen, wenn du schon etwas Erfahrung mit der Substitutionsregel hast.
Ich habe ja schon im Teil 1 geschrieben, dass es sich um eine raffinierte Substitution handelt. Ebenfalls steht im Teil 1, was man sich dabei gedacht hat:
Wurzel aus (4-x²) lässt sich nicht weiter vereinfachen, und man findet auch nicht auf einfache Weise eine Stammfunktion dazu. Stände da aber nicht x² sondern 4*cos²t, dann könnte man den Term sehr wohl noch umformen:
Wurzel aus (4-4cos²t) = Wurzel aus (4*(1-cos²t)) = Wurzel aus (4*sin²t) = 2*sin t
Nun, genau diesen Term kann man durch eine Substitution erreichen:
Man setzt dazu x=2cos t.
Dann ist x² = 4cos²t, wie ich mir das oben gewünscht habe.
Allerdings muss ich nun auch noch dx berechnen. Es gilt
dx = -2sin t dt
Durch diese Substitution verändern sich auch die Grenzen des Integrals. Man erhält die veränderten Grenzen, indem man zunächst die Umkehrgleichung zur Substitutionsgleichung bildet und die alten Grenzen dann dort einsetzt:
Zur Bildung der Umkehrfunktion:
x = 2cos t
x/2 = cos t
arc cos (x/2) = t
Setze für x 0 ein, und du erhältst t = arc cos 0 = p/2
Setze für x 2 ein, und du erhältst t = arc cos 1 = 0
Falls in der Rechnung oben ein p statt eines Pi zu sehen sein sollte, klappt etwas mit der Konvertierung nicht. Denk dir dann bitte ein Pi statt des p.
quote:In dieser Rechnung steckt eine Variante der Additionstheoreme für trigonometrische Funktionen:
cos 2 alpha = cos² alpha - sin² alpha = 1 - sin² alpha
Wieso kann cos 2alpha = cos² alpha - sin² alpha = 1-sin² alpha sein? Wenn doch gilt:
sin² + cos² = 1 |-sin²
cos² = 1 - sin²
Dann wäre doch cos 2 alpha = cos² alpha ? Kann das stimmen?
Kennst du die Additionstheoreme für trigonometrische Funktionen? Sonst sieh doch mal in deiner Formelsammlung nach. Das Theorem (= der Satz), den wir benötigen, lautet in seiner allgemeinen Form
cos(a+b)=cos(a)*cos(b)-sin(a)*sin(b)
Wir wollen cos(2a)berechnen. Also - los geht's:
cos(2a)=cos(a+a)=cos(a)*cos(a)-sin(a)*sin(a)=cos²(a)-sin²(a)
Nun kann man für cos²(a) auch 1-sin²(a) sagen, wie du selbst bemerkt hast. Dann erhält man aber
cos²(a)-sin²(a)=1-sin²(a)-sin²(a)=1-2sin²(a)
Die "2" hast du in deiner Rechnung offenbar übersehen.
Alles klar? Sonst melde dich noch einmal.
Viele Grüße
Jair |
Pouvl23 (Pouvl23)
Junior Mitglied
Benutzername: Pouvl23
Nummer des Beitrags: 6
Registriert: 01-2009
| | Veröffentlicht am Montag, den 19. Januar, 2009 - 10:48: |
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Ganz große Klasse, Jair, und vielen Dank für Deine unverwüstliche Hilfsbereitschaft!
So weit ist auch alles klar - eine klitzekleine Kleinigkeit allerdings noch nicht:
Da steht, betreffs Teil 1, in Deiner Antwort, dass NACH dem Radizieren, wenn ich erhalte "Wurzel aus (4*sin²t) = 2*sin t" , man allerdings nun auch noch dx berechnen muss. Es gilt
dx = -2sin t dt. - Und warum muss ich jetzt das -2sin t mit dem 2 sin t noch multiplizieren?
An diesem einzigen Punkt hängts noch. Ansonsten hast Du alles klar gemacht - Teil 2 wirft (bislang :-) ) keine weiteren Frage auf. Du bist richtig gut!!! Heißen Dank nochmals! Und Grüße zurück!
pouvl23
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Jair_ohmsford (Jair_ohmsford)
Senior Mitglied
Benutzername: Jair_ohmsford
Nummer des Beitrags: 817
Registriert: 10-2003
| | Veröffentlicht am Montag, den 19. Januar, 2009 - 12:05: |
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Hallo Pouvl,
ich habe mir schon gedacht, dass Du Dich vielleicht doch noch nicht so gut mit der Substitutionsregel auskennst. Es handelt sich dabei um die Umkehrung der Kettenregel aus der Differentialrechnung. Wir benutzen sie hier schon auf eine ziemlich spezielle Weise. Wenn Du sie richtig kennenlernen willst, sieh Dir doch bitte mal das Kapitel "Lineare Substitution" in Deinem Lehrbuch an und danach das Kapitel über die Substitutionsregel im Allgemeinen.
Im Anhang habe ich Dir den Wortlaut der Regel (hier entnommen von Wikipedia) aufgeschrieben und Stück für Stück an unserem Beispiel erklärt.
Ich hoffe, Du kommst damit klar. Sonst frag ruhig nochmal nach.
Viele Grüße
Jair
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Pouvl23 (Pouvl23)
Junior Mitglied
Benutzername: Pouvl23
Nummer des Beitrags: 7
Registriert: 01-2009
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 21. Januar, 2009 - 09:47: |
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Vielen Dank, Jair, wie immer hast Du mir ein großes Stück weiter geholfen. Auch mit Deiner Einschätzung, ich sollte mir das Kapitel "Lineare Substitution" ansehen. Mache ich auch - so ich's finde.
Besonderen Dank an Dein geduldiges Angebot, ruhig noch einmal nachzufragen, wenn etwas nicht klar wird. Ich hoffe zwar, dass ich Dich nicht mehr (mit derselben Aufgabe) belästigen muss, danke aber sehr für dieses ausgesprochen nette Angebot!
pouvl23
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