| Autor |
Beitrag |
    
Graph_zahl (Graph_zahl)
Neues Mitglied
Benutzername: Graph_zahl
Nummer des Beitrags: 4
Registriert: 09-2003
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 09. September, 2008 - 21:57: | 
|
Hallo,
kann man Funktionen wie e^(2x) oder e^(-x), also allgemein e^(kx) auch ohne die ausdrückliche Verwendung der Kettenregel ableiten? D. h. mit Differenzenquotienten und limes? Gibt's da 'nen schönen Weg?
Viele Grüße und Danke,
Graph Zahl |
Ingo (Ingo)
Moderator
Benutzername: Ingo
Nummer des Beitrags: 1300
Registriert: 08-1999
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 11. September, 2008 - 18:41: |
|
Klar kann man hier auch mit den Differenzenquotienten weiterkommen, aber ob es sinnvoll ist? Die Kettenregel wird ja gerade allgemein mittels Differenzenquotient hergeleitet, um es nicht in jedem Spezialfall noch einmal zu machen.
d(h)=(f(x+h)-f(x))/h = (ekx+kh-ekx)/h = ekx(ekh-1)/h
Da 1+kh=ekh für kh<e, ist
limh->0d(h) = ekx limh->0kh/h = kekx
Eine weitere Möglichkeit die Ableitung zu bestimmen wäre die Verwendung der Produktregel unter Einsatz von vollständiger Induktion.
fn+1(x) = e(n+1)x = exenx = exfn(x)
=> fn+1'(x) = exfn'(x) + exfn(x)
= ex(nenx+enx) = (n+1)e(n+1)x
Unter Ausnutzung der Gleichung 1 = fn(x)f-n(x) folgt die Aussage auch für ganze Zahlen. Die Erweiterung auf die rationalen Zahlen lässt sich über die Bruchdarstellung und Anwendung der Quotientenregel beweisen, so dass schließlich die komplette Gültigkeit für alle reellen Zahlen als Folge der Stetigkeit der e-Funktion gegeben ist.
Wie gesagt: Ein recht umständliches Verfahren  |
|
