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Nadine
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 28. Oktober, 2007 - 11:33: | 
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Ich soll mit Hilfe der Ungleichung vom arithmetischen und geometrichen Mittel beweisen, dass
1. Das Quadrat den grössten Flächeninhalt unter allen Rechtecken gleichen Umfangs hat und
2. dass der Würfel das grösste Volumen unter allen Quadern mit gleichem Oberflächeninhalt hat.
Soweit ich weiss, besagt die ungleichung vom arithmetischen und egometrischen Mittel, dass das arithmetische Mittel für bestimmte x immer kleiner ist als das entsprechende geometrische Mittel. Hat jemand eine Idee, wie man damit 1 und 2. beweisen könnte? |
Dörrby
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Montag, den 29. Oktober, 2007 - 16:52: |
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Hallo Nadine,
die Ungleichung ist umgekehrt: Zumindest bei positiven Zahlen a und b (negative Zahlen machen bei Flächen und Volumina auch keinen Sinn) ist das arithmetische Mittel größer oder gleich dem geometrischen.
Beispiel: a=4 , b=16 Þ Marit=(4+16)/2=20 , Mgeo=Wurzel(4*16)=8
Beweis zu Rechteck und Quadrat:
u = 2a+2b = 4 * (a+b)/2 ³ 4 * Wurzel(ab) = 4 * Wurzel(A), also 4*Wurzel(A) £ u,
d.h. 4*Wurzel(A) kann höchstens u sein,
beim Quadrat ist es 4*Wurzel(A) = 4*Wurzel(a2) = 4*a = u, also 4*Wurzel(A)=u,
d.h. der Flächeninhalt des Quadrates ist maximal.
Ich schätze, beim Würfel geht das so ähnlich, bin mir aber nicht sicher; probier's aus!
Gruß Dörrby |
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