| Autor |
Beitrag |
    
Buzz
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 30. September, 2007 - 10:19: | 
|
Hallo,
unser Lehrer hat die folgende Aufgabe so im Unterricht an der Tafel durchgerechnet. Leider, ist mein Aufschrieb in diesem Fall etwas durcheinander gewesen und ich habe auch nicht wirklich verstanden, was er da so gemacht hat.
Wäre nett, wenn mir da jemand helfen könnte.
Aufgabe:
Eine Algenkultur auf einer Gewässeroberfläche wächst täglich um 1,2% .
Nach welche Zeit hat sie sich verzehnfacht?
Auf wieviel ist sie nach 2 Wochen angewachsen?
Rechnung:
B(t) sei die Algenmenge ( in einer Zusammensetzung [?] nach t Tagen).
Damit B(t) = a * e^(kt)(woher kommt diese Formel?)
B(1) = a * 1,012 (woher kommen die 1,012 ?)
a * e^k = a * 1,012
k = ln 1,012 (um k zu bekommen, logarithmiere ich die andere Seite der Gleichung?)
= 0,01193
d.h B(t) = a * e^(0,01193*t)
Nach 2 Wochen : B(14) = a * e^(0,01193*14)
= 1,182*a (woher weiß ich, daß 1,182 das Ergebnis ist und was macht das a noch da?)
Die Menge ist auf das 1,182-fache angewachsen, hat sich also um 18,2% vermehrt.
Gesucht ist t^' so, dass
B(t^') = 10 * a ( wie komme ich auf diese Formel)
a* e^(0,01193*t^') = 10 * a ( warum kann man das B(t^') durch 0,01193 * t^' ersetzen?)
0,01193 * t^' = ln 10
t^' = ln 10/ 0,01193
= 193
Nach 193 Tagen hat sich die Menge verzehnfacht. |
Friedrichlaher (Friedrichlaher)
Senior Mitglied
Benutzername: Friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 3280
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 30. September, 2007 - 13:24: |
|
1,000 entspricht 100%
0,012 entspricht 1,2%
1,012 entspricht 101,2%
die Algenmenge "ver 1,012 facht" sich täglich,
also
nach 1 Tag das 1,012fache
nach 2 Tagen das 1,012² fache
.....
nach t Tagen tas 1,012t fache
also B(t) = a*1,012t
warum der Lehrer auf epotenzen herumreitet versteh ich nicht;
das a steht für den AnfangsAlgen-Bewuchs(?)
1,01214 = 1,182 ebenso wie e0,1193*14, einfach ausrechnen
B(t) = 10*a ist einfach die Forderung nach Ver10fachung
und
dann wird eben für B(t) das a*e0,01193*t eingesetzt
( nicht nur 0,01193 )
aber einfacher wäre natürlich 1,012t = 10
t*ln(1,012) = ln(10)
t = ln10 / ln(1,012)
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Polya]
|
|
