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Chapuismichel (Chapuismichel)
Mitglied
Benutzername: Chapuismichel
Nummer des Beitrags: 38
Registriert: 02-2003
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 14. Dezember, 2006 - 22:07: | 
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"Es gibt unendlich viele Primzahlen". Eine wichtige Rolle beim Beweis dieses Satzes spielt das Produkt aller Primzahlen von 2 bis und mit zu der Primzahl P, die man vorübergehend für die grösste hält. Wird dieses Produkt nämlich um eins vergrössert, so lässt diese Zahl bei der Division durch sämtliche Primzahlen von 2 bis und mit P den Rest 1. Also ist diese Zahl entweder selbst eine neue Primzahl, die grösser als P ist, oder ihre Primfaktorzerlegung enthält einen bisher unbekannten Primfaktor, der somit grösser als P sein muss.
Ein ähnlicher Gedankengang kann bei folgender Behauptung über Nichtprimzahlen zum Ziel führen: "Es gibt 34 aufeinanderfolgende natürliche Zahlen, von denen keine eine Primzahl ist". Lässt sich dieser Satz verallgemeinern?
Ich wäre sehr sehr froh wenn mir jemand bei dieser Aufgabe helfen könnte! |
Christian_s (Christian_s)
Senior Mitglied
Benutzername: Christian_s
Nummer des Beitrags: 2080
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 15. Dezember, 2006 - 13:44: |
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Hallo
Betrachte direkt den allgemeinen Fall:
Sei k eine natürliche Zahl, N:=2*3*...*p sei Produkt aller Primzahlen, die kleiner sind als k+2.
Behauptung: Keine der Zahlen N+2, N+3, ... N+(k+1) ist prim.
Das ist so, denn für 2£j£k+1 hat j auf jeden Fall einen Primteiler, der kleiner als k+2 ist. Dieser kommt aber nach Definition auch in N vor, also hat N+j einen Primteiler, der kleiner ist als N+j selbst, damit kann N+j nicht prim sein.
Dein Fall ist k=34
Also
N=2*3*5*7*11*13*17*19*23*29*31=200560490130
Und die 34 Zahlen
N+2, N+3, ... N+35 sind keine Primzahlen.
Obiger Satz zeigt, dass es beliebig große Lücken in der Menge der Primzahlen gibt.
Nach einem Satz von Bertrand gilt aber auch, dass für jedes natürliche n eine Primzahl p existiert existiert mit n<p£2n
MfG
Christian |
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