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Binomi12
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Montag, den 27. November, 2006 - 08:35: | 
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Servus!
Erstmal vielen Dank für die Hilfe zu den zwei letzten Fragen (sorry, dass es so lange gedauert hat!).
In der Schule haben wir wie folgt ein Beispiel aufgeschrieben:
f(x)= x^3 + x + 1
daraus die Ableitung f'(x)=3x^2 + 1
Newton-Term: x(kleines n+1 unten) = x(kl. n unten) -f(x(kleines n unten))/f'(x(kleines n unten))
= x(kleines n unten) - (x^3 + x +1)/(3x^2 +1)
= [3x^3 (kleines n unten) + x(kle. n unten) -(x^3(kl. n unten) + x(kleines n unten) +1)] / 3x^2(kl. n unten)+1 -> // warum erstetzt man x(kleines n unten) durch "3x^3(kle. n unten) + x(kl. n unten)" ?
= 2x^3(kl.n unten)-1/ 3x^2(kl. n unten) +1
Was muss ich jetzt tuen? Nullstelle ermitteln? Woher weiß ich, zwischen welchen Werten diese liegt?
Hausaufgabe:
1.) a)
Die folgende Gleichung hat mehrere Lösungen. Ermitteln sie diese mit dem GTR ( der irgendwie nicht richtig bei dieser Thematik funktioniert-> also schriftlich!) nach dem Newton- Verfahren auf fünf Dezimalen gerundet.
geg: x^3 - 3x- 1= 0
meine Fragen: Warum gibt es hier mehrere Lösungen? Wie/Wo ermittele ich das mit der Nullstelle?
btw. Gibt es empfehlenswerte (Übungs-)Bücher (möglichst mit Lösungen!) zum Thema "Folgen und Grenzwerte" (Unterthemen: Grenzwert einer Folge, Grenzwerte von Funktionen für x-> +- unendlich. Stetigkeit und Nullstellensatz etc.) + "Wiederholungen und Vertiefungen" ( Unterthemen: Die erste und zweite Ableitung einer Funktion, Das Newton-Verfahren, Funktionsanpassungen, die Kettenregel etc.)?
vielen Dank |
Friedrichlaher (Friedrichlaher)
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Benutzername: Friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 3186
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 27. November, 2006 - 08:59: |
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z.B. zwischen f(-1) = -2 und f(1) = +3
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Polya]
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Mythos2002 (Mythos2002)
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Nummer des Beitrags: 1859
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| | Veröffentlicht am Montag, den 27. November, 2006 - 10:18: |
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Eine Gleichung in Form eines ganzrationalen Polynomes n-ten Grades hat nach dem Fundamentalsatz der Algebra n Lösungen (reelle und/oder paarweise komplexe Lösungen).
Die Gleichung dritten Grades hat somit 3 Lösungen, davon muss mindestens eine reell sein, weil eben komplexe Lösungen immer paarweise als konjugiert komplex auftreten, oder es gibt drei reelle Lösungen.
Das Newtonverfahren funktioniert nur bei in dem interessierenden Intervall stetigen Funktionen.
Wichtig ist es dabei, den richtigen Startwert herauszufinden.
Dazu erstellt man zunächst eine kleine Wertetabelle und sieht dann bei den Funktionswerten nach, wo sich deren Vorzeichen ändert. Zwischen diesen beiden x-Werten liegt (nach dem Zwischenwertsatz) die Nullstelle.
Hier:
..
x = -2: f(-2) = -3
x = -1: f(-1) = 1
x = 0: f(0) = -1
x = 1: f(1) = -3
x = 2: f(2) = 1
..
Wir sehen, dass es 3 reelle Nullstellen gibt (zwischen -2 und -1, -1 und 0 und 1 und 2). Für den Startwert dürfen wir KEINEN x-Wert wählen, bei dem f' = 0 ist, also hier nicht 1 oder -1.
Ein Extremwert oder Wendepunkt in der Nähe der Nullstelle kann das Verfahren erheblich stören, weil es dann nicht konvergiert.
Für die Berechnung nach Newton existieren eine Reihe kleiner und nützlicher Programme, auch ein GTR leistet gute Dienste.
mY+
(Beitrag nachträglich am 27., November. 2006 von mythos2002 editiert) |
Mythos2002 (Mythos2002)
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| | Veröffentlicht am Montag, den 27. November, 2006 - 10:25: |
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