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Fiene (Fiene)
Mitglied
Benutzername: Fiene
Nummer des Beitrags: 32
Registriert: 02-2004
| | Veröffentlicht am Freitag, den 03. November, 2006 - 16:10: | 
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Hallo, kann mir vielleicht jemand die Aufgabe berechnen. Wir haben die in der Schule berechnet, doch ich habe das nicht so ganz verstanden!
Vom Punkt T sollen die Tangenten an den Graphen der Funktion f gelegt werden. Bestimmen Sie die Gleichung der Tangenten und den Berührungspunkt P.
geg.:f(x)=2x^2+12x+22
T(1/4)
Lösung: f´(x)=4x+12 -versteh ich!
P(u/2u^2+12u+22)
Nach dem Bilden der f´ haben wir einen Punkt P gebildet. Doch wie komm ich den auf diesen Punkt und wozu ist der gut? In der Schule haben wir die gesamte Aufgabe gelöst, doch das ist zu umfangreich um das alles hier reinzuschreiben.Wir haben den Punkt P dann in die Punktrichtungsgleichung eingesetzt und dann den Teil der Punktrichtungsgleichung der dem Anstieg entspricht mit dem Anstieg 4u+12 gleichgesetzt. Warum?
Ich hoffe auf eure Hilfe.
gruß fiene |
Häslein (Häslein)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Häslein
Nummer des Beitrags: 221
Registriert: 02-2003
| | Veröffentlicht am Freitag, den 03. November, 2006 - 17:54: |
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Hi!
Mit welcher/n Gleichung/Gleichungen seid ihr denn auf den Punkt gekommen?
Gruß
Häslein |
Analysist (Analysist)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Analysist
Nummer des Beitrags: 335
Registriert: 04-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 03. November, 2006 - 21:54: |
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Hallo,
der Punkt P ist ein zunächst variabler Punkt, wenn man z.B. u für x in f(x) einsetzt, erhält man f(u)=2u^2+12u+22. Da man die Punkte für die Tangente ja noch nicht kennt, rechnet man erst einmal mit der Unbekannten u (man könnte auch jeden anderen Varibalennamen nehmen). Ein Punkt P auf dem Graphen hat also die Koordinaten P(u / 2u^2+12u+22). Die Ableitung f'(x) gibt die Steigung der Tangente an, wenn wir hier also wieder u einsetzen, erhalten wir f'(u)=4u+12.
m (Steigung in der Geradengleichung) ist also 4u+12. Wir haben also die Steigung m=4u+12, den Punkt P aus dem wir den x-Wert u und den y-Wert 2u^2+12u+22 ablesen können. Wir setzen y,x und m in die allgemeine Geradengleichung y=mx+b ein und erhalten:
2u^2+12u+22=(4u+12)u +b
2u^2+12u+22=4u^2+12u +b /-4u^2-12u
-2u^2+22=b
Damit kann man die Tangentengleichung für jede beliebige Stelle u des Graphen angeben:
y=(4u+12)x+(-2u^2+22)
Der Rest ist ganz einfach: Wir kennen ja noch den Punkt T (1/4). Wenn wir dessen x-Wert 1 und dessen y-Wert 4 in die Tangentengleichung einsetzen, können wir u berechen:
4=(4u+12)*1 (-2u^2+22)
4=4u+12-2u^2+22 / -4 und sortieren
0= -2u^2+4u+30 / -2)
0= u^2-2u-15
Bleibt noch die quadrat. Gleichung zu lösen:
Nach Vieta hat man die Lösungen sofort: -3 und 5
Oder ausführlich p-q-Formel:
x1,2=1+-Wurzel(1^2-(-15))
x1= 5 x2=-3
Wenn man jetzt noch die Berührpunkte angeben will, braucht man nur noch die Funktionswerte bei -3 und 5 bestimmen (für x bzw. für u einsetzen)
B1(-3/4) B2(5/132)
Wenn man noch die Tangente angeben will, in der Tangentengleichung einfach die Werte für u einsetzen:
Für B1: y1=0x+4 -> y=4
Für B2: y2=32x-28
Gruß
Peter
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Fiene (Fiene)
Mitglied
Benutzername: Fiene
Nummer des Beitrags: 34
Registriert: 02-2004
| | Veröffentlicht am Samstag, den 04. November, 2006 - 14:45: |
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Hi, Peter.
Du hast das jetzt anders gerechnet als wir in der Schule, aber die Ergebnisse sind die selben.
Kannst du das mit der p-q-Formel vielleicht noch mal vorrechnen? Die p-q-Formel verwenden wir in der Schule eher weniger, weil wir auf dem Taschenrechner(TR) ein Menü haben mit dem wir die Form ax^2+bx+c=0 berechnen können.
Doch bei deinem Ergebniss 0=u^2-2u-15 kommen da sinnlose Ergebnisse raus. Also wär es nett, wenn du mir das mit p-q-Formel noch mal vorrechnen könntest!
Wir haben das so gerechnet:
y-y1=y2-y1/x2-x1*(x-x1)
In die Formel haben wir P und T eingesetzt. Dann haben wir 4u+12 mit (2u^2+12u+22)-4/u-1 gleichgesetzt.
Dabei hatten wir auch das raus, was du raus hattest: 2u^2-4u-30=0
Und dann haben wir beim TR das EQUA-Menü genutzt, so das wir auch auf x1= 5 und x2= -3 gekommen sind.
Danke für deine Hilfe,fiene
@Häslein: Mit gar keiner Gleichung. |
Häslein (Häslein)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Häslein
Nummer des Beitrags: 222
Registriert: 02-2003
| | Veröffentlicht am Samstag, den 04. November, 2006 - 18:05: |
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Hi,
okay. :-)
Wie wäre es, die Gleichung mit einer simplen quadratischen Gleichung zu lösen?
2u²-4u-30 = 0 |:2
u²-2u-15 = 0 |+15
u²-2u = 15 |quadr. Erg.
u²-2u+1² = 15+1²
(u-1)² = 16 |Wurzel
u-1 = +4 oder u-1 = -4
u1 = 5 oder u2 = -3
Gruß
Häslein
PS: Die pq-Formel macht prinzipiell dasselbe, allerdings wird da einfach nur in die Formel eingesetzt. |
Analysist (Analysist)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Analysist
Nummer des Beitrags: 336
Registriert: 04-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 04. November, 2006 - 19:03: |
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Hallo nochmal,
die p-q-Formel erhält man aus der allgemeinen Anwendung der quadratischen Ergänzung. Sie lautet
Hat eine quadratische Gleichung die Form:
x^2+px+q=0, so sind die Lösungen x1,2=-(p/2)+-Wurzel ((p/2)^2-q).
Auf TR mit CAS kannst du natürlich auch eine Gleichung der Form u^2-2u-15=0 lösen, du darfst nur nicht vergessen, dass a in diesem Fall 1 ist, b=-2 und c=-15.
Der Unterschied, zu dem was ihr in der Schule gemacht habt, liegt lediglich darin, dass ihr nicht die ganze Tangentengleichungen benutzt habt, sondern nur mit der Steigung gearbeitet habt:
m ist einerseits die Ableitung an der Stelle u, andererseits die Steigung der Tangente, also der Quotient aus der Differenz der y-Werte und der Differenz der x-Werte.
Den ganzen Blödsinn mit Punkt-Steigungsform und 2 Punkte-Form benutzt ihr sowieso kein Mensch. Die allgemeine Geradengleichung: y=mx+b reicht völlig, man muss nur wissen, dass m die Steigung ist (lässt sich über die Ableitung oder über Steigungsdreieck [(y2-y1)/(x2-x1)]ausrechnen) und b der y-Achsenabschnitt.
Gruß
Peter |
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